术曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。 汉《九章算术·商功》 【评】此圆锥体积公式基于周三径一:V=l 2 h。其中l,h分别为下周长,高。 按:此术圆锥下周以为方锥下方。方锥下方令自乘,以高乘之,合三而一,得大方锥之积[“方锥”原本作“锥方”,依李潢改]。大锥方...

术曰:上下周相乘,又各自乘,并之,以高乘之,三十六而一。 汉《九章算术·商功》 【评】这是已知圆台的上下周和高,求其体积的公式:V=(l 1 l 2 +l 1 2 +l 2 2 )h,其中l 1 ,l 2 ,h分别是圆台的上周,下周和高。它以周三径一为率,因而是不准确的。 此术周三径一之义,...

(圆堢 )术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一。 汉《九章算术·商功》 此章诸术亦以周三径一为率,皆非也。于徽术,当以周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,三百一十四而一。此之圆幂,亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田,而以高乘幂也。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注...

今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五.直金八两。问牛、羊各直金几何? 术曰:如方程。(刘徽注:假令为同齐,头位为牛,当相乘。右行定,更置牛十、羊四,直金二十两;左行牛十、羊二十五,直金四十两。牛数等同,金多二十两者,羊差二十一使之然也。以少行减多行,则牛数...

今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗,直钱一百四十;麻七斗、麦六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗,直钱一百二十八;麻三斗、麦五斗、椒七斗、荅六斗、黍四斗,直钱一百一十六;麻二斗、麦五半、菽三斗、荅九斗、黍四斗,直钱一百一十二;麻一斗、麦三斗、菽二斗...

正负术曰(刘徽注:……方程自有赤、黑相取,法、实数相推求之术,而其并、减之势不得广通,故使赤、黑相消夺之。于算或减或益,同行异位殊为二品,各有并、减之差见于下焉。著此二条,特系之禾以成此二条之意。故赤、黑相杂足以定上下之程,减、益虽殊足以通左右之数,...

今有上禾七秉,损实一斗,益之下禾二秉,而实一十斗。下禾八秉,益实一斗,与上禾二秉,而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何? 术曰:如方程。损之曰益,益之曰损。(刘徽注:问者之辞虽?今按:实云上禾七秉、下禾二秉,实一十一斗;上禾二秉、下禾八秉,实九斗也。“损之曰...

今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何? 方程[原本无此二字,戴震补](刘徽注:程,课程也。群物总杂,各列有数,总言其实。令每行为率。二物者再...

以土圭之法测土深,正日景以求地中。日南则景短,多暑;日北则景长,多寒;日东则景夕,多风;日西则景朝,多阴。日至之景,尺有五寸,谓之地中,…… 《周礼·司徒·大司徒》 景尺有五寸者,南戴日下万五千里地,与星辰四游升降于三万里之中,是以半之,得地之中也。……郑...

今有邑,东西七里,南北九里,各中开门。出东门一十五里有木。问出南门几何步而见木? 术曰:东门南至隅步数,以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实如法而一。 汉《九章算术·勾股》 此以东门南至隅四里半为勾率,出东门一十五里为股率,南门东至隅三里半为...

今有勾八步,股一十五步。问勾中容圆径几何? 术曰:八步为勾,十五步为股,为之求弦。三位并之为法。以勾乘股,倍之为实。实如法得径一步。 汉《九章算术·勾股》 【评】此为勾股形的内切圆圆径公式d=。勾股容圆问题在宋、元时发展为数学的一个重要分支,此为其滥觞...

今有勾五步,股一十二步。问勾中容方几何? 术曰:并勾、股为法,勾股相乘为实,实如法而一,得方一步。 汉《九章算术·勾股》 【评】此为勾股容方问题。已知勾a,股b,则所容正方形边长d=。是为中国古代勾股算术中一类重要问题。 勾股相乘为朱、青、黄幂各二 ① 。令...

勾股生变十三名图 ① 。勾、股、弦并而为和,减而为较,等而为变为段,自乘为积为幂。有用而取,无用不取,立图而验之。 勾 股 弦 勾 股 较 勾 弦 较 股 弦 较 勾 股 和 勾 弦 和 股 弦 和 弦 较 和 弦 和 和 弦 和 较 弦 较 较 释 名 直 田 阔 直 田 长 田 两 隅...

平阳李德载因撰《两仪群英集臻》,兼有地元。霍山 ① 邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》,末仅有人元二问。吾友燕山朱汉卿先生演数有年,探三才之赜,索《九章》之隐,按天、地、人、物立成四元。 《四元玉鉴》元·祖颐后序 [注]①霍山在今山西省霍县。 【评...

予至东平 ① ,得一算经,大概多明如积之术。以十九字识其上、下层数。曰:仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。此盖以人为太极,而以天、地各自为元而陟降之。其说虽若肤浅,而其理颇为易晓。予遍观诸家如积图式,皆以天...

凡商数为正。今令之为负。则凡平方皆可开二数,立方皆可开三数或一数,三乘方皆可开四数或二数。异名相步所得为正商,同名相步所得为负商 ① 。 清·李锐《开方说》卷中(见《李氏算学遗书》) [注]①以下作者的例题中说:“以正方步负实,异名相步,得正商”。“以正...

以不知为知,不可也,而犹可也,以不可知为知,大不可也。何可乎以不知为知,何不可乎以不可知为知?物予我以知,我暂不知,会心焉,有待也。物不任我以知,我谬附以知,见魔焉,迷不反也。嗟乎,使物有知,不且笑知已乎。故曰:知其不可知,知也。辛酉仲秋……与[江]郑堂察秦...

……得,合以平方开之 ① 。今不可开。[四库馆臣案:不可开者,谓廉、隅数多,而得数又不能尽也。]先以隅法二十二步半乘实二万三千单二步,得五十一万七千五百四十五步正,为实。元从六百四十八负,依旧为从。一,益隅。平方开之,得四百六十五步。以元隅二十二步半约...

增乘开平方法 ① (原注:以商数乘下法,递增求之。):商第一位。上商得数以乘下法为乘方,命上商除实。上商得数以乘下法,入乘方。〔以上两“乘方”,《九章纂类》及此下“增乘开平方图”作“平方”。〕一退为廉,下法再退。商第二位,商得数以乘下法为隅,命上商除实,...

中山刘先生作《议古根源》……撰成直田演段百问,信知田体变化无穷,引用带从开方正负损益之法,前古之所未闻也。 宋·杨辉《田亩比类乘除捷法序》 刘益以勾股之术治演段锁方,撰《议古根源》二百问,带益隅 ① 开方,实冠前古。 宋·杨辉《算法通变本末》卷上 [注]...