开方作法本源(杨辉注:出释锁算书 ① ,贾宪用此术。) 增乘方求廉法草曰(原注:释锁求廉本源):列所开方数(原注:如前,五乘方列五位,隅算在外。)以隅算一,自下增入前位,至首位而止。(原注:首位得六,第二位得五,第三位得四,第四位得三,下一位得二。)复以隅算如前升...

开立方(刘徽注:立方适等,求其一面也。)术曰:置积为实。借一算,步之,超二等。(刘徽注:言千之面十,言百万之面百。)议所得,以再乘所借一算为法,而除之。(刘徽注:再乘者亦求为方幂,以上议命而除之,则立方等也。)除已,三之为定法。(刘徽注:为当复除,故豫张三面,以...

开方(刘徽注:求方幂之一面也。)术曰:置积为实。借一算,步之,超一等。(刘徽注:言百之面十也,言万之面百也。)议所得,以一乘所借一算为法,而以除①。(刘徽注:先得黄甲之面,上下相命,是自乘而除也。)除已,倍法为定法。(刘徽注:倍之者,豫张两面朱幂定袤,以待复除,...

今有官司依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,每人日支钱二百五十文,已招二万三千四百人,支钱二万三千四百六十二贯。问招来几日 ① ? 术曰:立天元一为三角落一底子,如积求之,得九万二千七百三十六为益实,六百六十为从方,一百八十一为从上廉,二十二为从...

太垛迭单数而成。元垛迭根数而成。一乘方垛迭平方而成。二乘方垛迭立方而成。三乘方垛迭三乘方而成。四乘方垛以上可类推 ① 。又太垛递减一迭成元垛。元垛从顶起递去一层迭成一乘方垛。一乘方垛从顶起递去一层迭成二乘方垛。二乘方垛从顶起递去一层迭成三乘方...

今有茭草三千三百六十七束,欲令岚峰形垛之,问底子几何? 术曰:立天元一为岚峰底子,如积求之,得八万八百八,为益实,二为从方,九为从上廉,十为从下廉,三为从隅,三乘方开之①,合问。 草曰:立天元一为岚峰底子,三之,得,加一得,以天元乘之,得,又以天元加一,得,乘之,...

今有四角落一形果子积五百四十个,问底子几何? 术曰:立天元一为四角落一底子,如积求之,得六千四百八十为益实,二为从方,五为从上廉,四为从下廉,一为正隅,三乘方开之 ① ,合问。 草曰:立天元一为四角落一底子,加一得,乘天元,得,又以天元加一乘之,得,又以天元加二...

今有茭草,底子每面五十四束,问积几何? 术曰:副置五十四束,下位添一束,以乘上位,得二千九百七十,半之,得积 ① ,合问。 元·朱世杰《算学启蒙·堆积还源》 〔注〕①此实际上给出了自然数列1,2,3,……前n项和公式S=n(n+1)。它是朱世杰高阶等差级数研究的开端。...

算术求积尺之法,如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类,物形备矣,独未有“隙积”一术。古法,凡算方积之物,有“立方”,谓六幂皆方者,其法再自乘则得之。有“堑堵”,谓如土墙者,两边杀,两头齐,其法:并上下广,折半以为之广,以直高乘之,又以直高...

今有竹九节,下三节容四升,上四节容三升。问中间二节欲均容,各多少? 术曰:以下三节分四升为下率,以上四节分三升为上率。(刘徽注:此二率者,各其平率也。)上、下率以少减多,馀为实。(刘徽注:按:此上、下节各分所容为率者,各其平率。上、下以少减多者,馀为中间五...

垛积为少广一支,而元郭太史以步躔离,近汪氏孝婴以释递兼,董氏方立以推割圜,西人代数、微分中所有级数大半皆是,其用亦广矣哉!顾历来算书中不恒见,唯元朱氏《玉鉴》“茭草形段”、“如象招数”、“果垛叠藏”诸门为垛积术,然其意在发明天元一,故言之不详,亦无条...

两仪化元 今有股幂减弦较较与股乘勾等 ① ,只云勾幂加弦较和与勾乘弦同 ② 。问股几何? 草曰:立天元一为股,地元一为勾弦和。天地配合,求之得今式,求到云式，互隐通分，消之，内二行得式，外二行得，两位相消得开方式，平方开之，得股四步，合问。 罗士琳补草...

其法以元气居中,立天元一于下,地元一于左,人元一于右,物元一于上 ① 。阴阳升降,进退左右,互通变化,错综无穷。其于盈绌隐互,正负方程,演段开方之术,精妙元绝。 《四元玉鉴》元·莫若序 以元气居中,立天勾、地股、人弦、物黄方,考图明之 ① 。上升下降,左右进...

观乎天文,以察时变。观乎人文,以化成天下。 《易经·象传·贲》 【评】这似乎是我国古籍文献中,最早出现“天文”一词的史料。 乃命羲和,钦若昊天,历象日月星辰,敬授人时。 《尚书·尧典》 太史公曰:神农以前尚矣。盖黄帝考定星历,建立五行,起消息,正闰馀,于是...

凡数,他数度之不能尽,惟一可度尽者,谓之数根…… 屡乘求一考数根法:法以用数之诸方积,或大于本数,或大于半数之半者,与本数相减,馀为乘法,乘法自乘,或再乘,以本数度之,不尽,复以乘法乘之,以本数度之,如之递求。至不尽数为诸正数,或诸负数,而止。乃计共用乘法若...

今有鸡翁一,直钱五;鸡母一,直钱三;鸡雏三,直钱一。凡百钱,买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何? 答曰:鸡翁四,直钱二十;鸡母十八,直钱五十四;鸡雏七十八,直钱二十六。又答:鸡翁八,直钱四十;鸡母十一,直钱三十三;鸡雏八十一,直钱二十七。又答:鸡翁十二,直钱六十;鸡...

今有物,不知其数。三、三数之,剩二;五、五数之,剩三;七、七数之,剩二。问物几何? 术曰:三、三数之剩二,置一百四十;五、五数之剩三,置六十三;七、七数之剩二,置三十。并之,得二百三十三。以二百一十减之,即得。凡三、三数之剩一,则置七十;五、五数之剩一,则置...

今有五家共井,甲二绠不足,如乙一绠;乙三绠不足,以丙一绠;丙四绠不足,以丁一绠;丁五绠不足,以戊一绠;戊六绠不足,以甲一绠。如各得所不足一绠,皆逮。问井深、绠长各几何? 术曰:如方程,以正负术入之。(刘徽注:此率初如方程为之,名各一逮井。其后,法得七百二十一,...

今有二人同所立。甲行率七,乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问甲、乙行各几何? 术曰:令七自乘,三亦自乘,并而半之,以为甲邪行率。邪行率减于七自乘,馀为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步,以甲邪行率乘之。副置十步,以乙东行率乘之,各自为...

第一,当知西人所谓点、线、面皆不能无体。…… 第二,当知体可变为面,面可变为线。…… 第三,当知诸乘方有线、面、体循环之理。一乘方为面(即平方),二乘方为体(即立方);三乘方为线(线即中法立天元之元,西法借根方之方也),四乘方复为面,五乘方复为体;六乘方复为...