(邪田 ① )术曰:并两邪而半之,以乘正从若广。又可半正从若广,以乘并,亩法而一。 汉《九章算术·方田》 (箕田 ② )术曰:并踵舌而半之,以乘正从。亩法而一。 汉《九章算术·方田》 [注]①邪田是梯形。②箕田是等腰梯形。 【评】这是梯形面积公式。刘徽也用“以...

(圭田)术曰:半广以乘正从。 汉《九章算术·方田》 【评】圭田是等腰三角形。这是其面积公式。后来人们把它当作一般三角形面积公式。 半广者,以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按:半(宋本讹作“平”,依聚珍版改)广乘从,以取中平之数。故广从相乘为积步。...

方,柱隅四杂也。 《墨子·经上》 方,矩见攴 ① 也。 《墨子·经说上》 [注]①“攴”,孙诒让疑为“交”。 【评】这是墨家关于正方形的定义,以及用矩作正方形的方法。 方田术曰:广从 ① 步数相乘得积步。 汉《九章算术·方田》 [注]①中国古代东西曰广,南北曰从...

刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。术曰:倍上袤,下袤从之;亦倍下袤,上袤从之,各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六而一。其曲池者,并上中、外周而半之,以为上袤;亦并下中、外周而半之,以为下袤。 汉《九章算术·商功》 【评】刍童、盘池、冥谷都是上下底为不相似的...

术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而 汉《九章算术·商功》 推明义理者:旧说云,凡积刍甍有上下广曰童,甍谓其屋盖之茨也。是故甍之下广、袤与童之上广、袤等。正斩方亭两边,合之即刍甍之形也。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 【评】此二段分别...

术曰:并三广,以深乘之,又以袤乘之,六而一。 汉《九章算术·商功》 按:此术羡 ① 除,实隧道也。其所穿地,上平下邪,似两鳖腝夹一堑堵,即羡除之形。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 [注]①羡,通“埏”,墓道。 【评】此二段分别是《九章算术》所提出羡除的体积...

术曰:广袤相乘,以高乘之,六而一 ① 。 汉《九章算术·商功》 腝者,臂骨也。或曰,半阳马,其形有似鳖肘,故以名云。中破阳马得两鳖腝,之见数即阳马之半数。数同而实据半,故云六而一,即得。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 [注]①按《九章算术》题设此处鳖腝是...

术曰:广袤相乘,以高乘之,三而一 ① 。 汉《九章算术·商功》 阳马之形,方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 [注]①阳马是古代建筑中的术语,即今底面为长方形而一棱垂直于底面的四棱锥。术文表示阳马体积公式: V=abh 其中a,b,h...

(方锥)术曰:下方自乘,以高乘之,三而一。 汉《九章算术·商功》 按:此术假令方锥下方二尺,高一尺,即四阳马。如术为之,用十二阳马,成三方锥,故三而一,得方锥[原本作“阳马”,依李潢校正]也。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 【评】以上二段分别为方锥体积公...

(方亭)术曰:上下方相乘,又各自乘,并之,以高乘之,三而一。 汉《九章算术·商功》 【评】这是正确的方台体积公式:V=(a 1 a 2 +a 1 2 +a 2 2 )h。其中V,a 1 ,a 2 ,h是方台的体积,上底边长,下底边长,高。 此章有堑堵、阳马,皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品,以效...

术曰:广袤相乘,以高乘之,二而一。 汉《九章算术·商功》 邪解立方得两堑堵。虽复随方 ① ,亦为堑堵,故二而一。此则合所规棋(原本作“幂”,钱宝琮校),推其物体,盖为堑上叠也。其形如城,而无上广,与所规棋形异而同实。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 [注]①...

城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。术曰:并上下广而半之,以高若深乘之,又以袤乘之,即积尺。 汉《九章算术·商功》 【评】许多体积公式先秦的中国人已经熟知,现存文献则以《九章算术》为最早。这是纵截面为相等梯形的平截体的体积公式:V=(b 1 +b 2 )ah。 按:此术...

(方堢 )术曰:方自乘,以高乘之,即积尺。 汉《九章算术·商功》 【评】这是中国古代最早出现的长方体体积公式。值得注意的是,刘徽对此没有任何证明,是作为不言自明的真理。 术曰:置粟一万斛积尺为实,广袤相乘为法。实如法而一,得高尺。 汉《九章算术·商功》 按...

勾、股各自乘,并之为弦实。开方除之,即弦。按:弦图,又可以勾、股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实亦成弦实 ① 。以差实减弦实,半其馀,以差为从法,开方除之,复得勾矣。加差于勾,即股 ② 。 凡并勾、股之实即成弦实,或方于内,或矩于...

今有户不知高、广,竿不知长短。横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。问户高、广、衺〔原本“衺”误作“袤”,李潢校正,此条下同〕各几何? 术曰:从、横不出相乘,倍而开方除之。所得,加从不出,即户广;加横不出,即户高;两不出加之,得户衺 汉《九章算术·勾股》...

今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈。问户高、广各几何? 术曰:令一丈自乘为实。半相多,令自乘,倍之,减实,半其馀。以开方除之,所得,减相多之半,即户广。加相多之半,即户高。 汉《九章算术·勾股》 【评】此实际上是已知弦和勾股差求勾、股的问题: 令户广为...

今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何? 术曰:以去本自乘,令如高而一,所得,以减竹高,而半馀即折者之高也。 汉《九章算术·勾股》 此去本三尺为勾,折之馀高为股,以先令勾〔原本脱“勾”字〕自乘之幂。凡为高一丈为股弦并,以除此幂得差。此术与系索之类...

今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何? 术曰:半池方自乘,以出水一尺自乘,减之,馀,倍出水除之,即得水深。加出水数,得葭长。 汉《九章算术·勾股》 此以池方半之,得五尺为勾,水深为股,葭长为弦。以勾、弦见股,故令勾自乘,...

故折矩以为勾广三,股修四,径隅五。既方之外,半其一矩,环而共盘,得成三、四、五。两矩共长二十有五,是谓积矩。 汉《周髀算经》卷上 若求邪至日者,以日下为勾,日高为股。勾、股各自乘,并而开方除之,得邪至日。 汉《周髀算经》卷下 【评】这是《周髀算经》中有关...

开立圆术曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸径。 汉《九章算术·少广》 【评】此为已知球体积求球径的方法,它基于周三径一之率及错误的球体积公式V=D 3 ,D为球直径。 为术者,盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三,圆囷居立方亦四分之三。...