钱塘项梅侣,名达。其算学之书……未刻者曰《象数一原》 ① 。项氏原书只六卷,而卷四仅六纸,为未完之书。殁后其友人戴鄂士校补之,始成全帙。凡七卷。卷一曰整分起度弦矢率论;卷二曰半分起度弦矢率论;卷三、卷四曰零分起度弦矢率论,皆以两等边三角明其象,递加法...

右《开方说》三卷,吾师李四香先生所撰也。忆自庚午之冬,应南始从先生受算学,由《九章》兼及西法。甲戌之秋,以《开方说》见授,曰:“……爰著《开方说》三卷。上卷起例,发凡,胪列算式;中卷正负互易,平立代开,得数可定其大小,命分则齐以并差;下卷反覆推求,有义必...

吾宗先生衡斋曩著《算学》二册,巴君孟嘉既叙而行之。……先生出续著《算学》相授。其第三册补六宗三要之阙,第四册树弧角堆垛之准,第五册释秦九韶、李冶之惑,第六册摘若往呐白尔之瑕。延麟与读之馀,叹为不朽之制,然窃谓秦李二家久著于世,先生独加訾议,毋乃启学...

盈不足术曰:置所出率,盈、不足各居其下。令维乘所出率,并,以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者,通之。盈不足相与同其买物者,置所出率,以少减多,馀,以约法、实。实为物价,法为人数。 汉《九章算术·盈不足》 【评】盈不足算法是中国古代一种重要方法,...

衰分术曰:各置列衰,副并为法,以所分乘未并者各自为实,实如法而一。不满法者,以法命之。 汉《九章算术·衰分》 【评】这是完整的比例分配算法。列衰即是相与率。设所分为A,列衰为a i (i=1,2,…n),则每一部分A i ＝(i=1,2,…n)。 法集而衰别。数本一也,今以所分...

反用合分术曰:母互乘子为法,母相乘为实,实如法而一。 宋·杨辉《详解九章算法·纂类》 【评】合分术是合率术,在“四则运算·分数”已引用。此为合分术的逆运算,是杨辉在《九章算术》均输率“乘传委粟”、“凫雁”、“成瓦”、“成矢”、“假田”、“程耕”、...

其率术曰:各置所买石、钧、斤、两以为法,以所率乘钱数为实,实如法而一。不满法者反以实减法,法贱实贵。 汉《九章算术·粟米》 贵贱率除法曰:以出钱数为实,所买物数为法,实如法而一。实不满法者,以数为贵率,以实减法,为贱率也。 宋·杨辉《详解九章算法·纂类...

今有术曰:以所有数乘所求率为实,以所有率为法,实如法而一。 汉《九章算术·粟米》 【评】这是关于率的一种主要算法。若A∶B=a∶b,则B=Ab/a。后来贾宪、杨辉称之为互换乘除法。印度和欧洲称之为三率法。 此都术也。凡九数以为篇名,可以广施诸率,所谓告往而知来...

凡母互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。同者,相与通同共一母也。齐者,子与母齐,势不可失本数也。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注 【评】齐同是中国古代数学的一种重要方法,也是关于率的一种重要等量变换。它源于分数的通分。 然则齐同之术要矣,错综度数,动之斯...

凡数相与者谓之率。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注 【评】率是中国古代数学的一个极其重要的概念,在数学运算中起着纲纪的作用。这是刘徽关于率的定义。 率者,自相与通。有分则可散,分重叠则约也。等除法实,相与率也。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注...

少广术曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘诸分子及全步,各以其母除其子,置之于左,命通分者。又以分母遍乘诸分子及已通者,皆通而同之,并之为法。置所求步数,以全步积分乘之为实。实如法而一,得从步。 汉《九章算术·少广》 少广法曰:列置全步及分母子,而副置分...

物之数量,不可悉全,必以分言之。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注 法实 ① 相推,动有参差,故为术者先治诸分。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注 [注]①法,标准也。除法运算系以某数为标准分割另一数,故 引伸之,除数称为法,被除数称为实。法、实等术语又用...

然名起于立法之后,理存于立法之先。理者何?加、减、乘、除四者之错综变化也。而四者之杂于《九章》,则不啻六书之声杂于各部。……盖《九章》不能尽加、减、乘、除之用,而加、减、乘、除可以通《九章》之穷。《孙子》、《张邱建》两书似得此意,乃说之不详,亦无...

小圆之圆,与大圆之圆同。 《墨子·小...

(宛田)术曰:以径乘周,四而一。 汉《九章算术·方田》 【评】这是《九章》提出的一种上径圆穹的曲面的面积公式,历代沿用。魏刘徽指出“此术不验”。...

若令其(指方锥)中容圆锥,圆锥见幂 ① 与方锥见幂,其率犹方幂之与圆幂也。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注 [注]①见,读xian,见幂,侧面积。 【评】这里刘徽提出了正确的圆锥侧面积公式,并利用圆锥侧面积:方锥侧面积=π∶4的原理论证了它的正确性,考虑圆锥表...

(环田)术曰:并中外周而半之,以径乘之,为积步。 汉《九章算术·方田》 【评】这是《九章》提出的圆环的面积公式,历代沿用:S=(l 1 +l 2 )d。其中S,l 1 ,l 2 ,d分别是环田面积,外周,中周及径(d=r 1 -r 2 )。 此田截而中之周则为长。并而半之知,亦以盈补虚也。此...

(弧田)术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。 汉《九章算术·方田》 【评】这是《九章》提出的弓形面积公式,历代沿用。刘徽指出它不精确,“若但度田,取其大数,旧术为约耳。” 方中之圆,圆里十二觚之幂,合外方之幂四分之三也。中方(原本误倒,依李潢校正)合外方...

圜,一中同长也。 《墨子·经上》 圜,规写攴 ① 也。 《墨子·经说上》 [注]①攴,孙诒让疑为“交”。 【评】这是墨家关于圆的定义,以及用规作圆的方法。 (圆田)术曰:半周半径相乘得积步。 又术曰:周径相乘,四而一。 又术曰:径自相乘,三之,四而一。 又术曰:周自...

(斜荡求积)术曰:以少广求之。置中长,乘北阔,半之,为寄。以中长幂减西斜幂,馀为实,以一为隅,开平方,得数,减北阔,馀自乘,并中长幂,共为内率。以小斜幂,并率,减中斜幂,馀半之,自乘于上。以小斜幂乘率,减上,馀,四约之,为实。以一为隅。开平方,得数。加寄,共为荡积...