《九章算术》唐宋间又称《九章算经》、《黄帝九章算经》,是中国古代最重要的数学经典,《算经十书》之一。其本文为西汉张苍、耿寿昌在先秦遗文基础上结合当时实际先后删补而成。传本《九章算术》合本文、魏刘徽注、唐李淳风等注释于一体。在唐末已有几个文字稍有歧异的抄本。北宋元丰七年(1084)首次由秘书省刊刻,今不传。南宋鲍澣之嘉定六年(1213)翻刻,至清初仅有一孤本,存卷1—5,今藏上海图书馆。1980年,文物出版社影印,收入《宋刻算经六种》。清康熙元年(1662)毛扆影抄南宋本,是为汲古阁本,后转入清宫,今存台北故宫博物院。1932年,北平故宫博物院影印,收入《天禄琳琅丛书》。明修《永乐大典》,取另一抄本分类抄入算字条诸卷,今存卷16343,16344,含本书卷3之下半卷及卷4的内容;藏剑桥图书馆,1960年,中华书局影印。清乾隆间修《四库全书》,戴震于乾隆三十九年(1774)从《永乐大典》辑出本书,加以校勘、补图、略加注释,抄入《四库全书》,又收入《武英殿聚珍版丛书》。戴震又于乾隆四十一、四十二年取汲古阁本与《永乐大典》辑本先后两次合校,分别为屈曾发刻本及孔继涵微波榭《算经十书》本。戴震的辑录校勘都嫌粗疏。清李潢以微波榭本为底本作《九章算术细草图说》(1812),亦作校勘,是为本书之最精详阐释。本书之聚珍版的光绪间福建补刊本、广雅书局翻刻本都依据李潢本作了修改,《丛书集成(初编)》本依此排印。1963年,中华书局出版钱宝琮校点《九章算术》(收入《算经十书》),以微波榭本为底本,参校诸本,提出若干校勘。取南宋本及由聚珍版、《四库全书》本恢复的《永乐大典》辑录本为底本,重加校勘,并以各本汇校,由辽宁教育出版社于1989年出版,是为汇校《九章算术》。
        张苍(?—前152),西汉初政治家、历算学家。先仕秦,明习天下图书计籍。后归汉,以功封北平侯。迁为计相,主管各郡、国钱谷赋役统计。“汉家言律历者,本之张苍。”(《史记·张丞相列传》)后为丞相。耿寿昌(生卒不详)西汉末经济学家、数学家、天文学家。宣帝时任大司农中丞。“善为算,能商功利”。曾提出若干有效的经济措施。先秦贵族教育中便有“九数”的科目,九数即九部分数学内容,据东汉郑玄引郑众说,为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、旁要,汉朝又有勾股、重差。刘徽说:“九数之流,则《九章》是矣。”张苍、耿寿昌皆以善算命世,先后收集先秦遗文,增补了许多当时的方法、题目,并将旁要扩充为勾股,是为本书。也有的学者认为成书于公元1世纪或公元元年前后。
        本书集先秦到汉中国人民数学知识之大成,凡九章,包括近百个普遍性公式、解法,246个应用题。其主要部分采取算法统率应用题的形式,即或先列出几个例题,再给出抽象性术文,此时例题一般只有题目、答案,或先给出抽象性术文,再列出例题,此时例题一般有题目、答案及具体术文。有一部分(主要集中在衰分章下半章、均输章的大部分及勾股章的解勾股形问题)的术文尽管其实质有普遍性,却不具有抽象性,而是具体问题的解法,这大约是张苍、耿寿昌补充的内容。
        本书卷1方田章提出了世界上最早的完整的分数四则运算法则;卷2粟米章的今有术是比例问题解法,后来西方的三率法与此相同;卷3衰分章、卷6均输章解决了比例分配问题及若干算术问题;卷7盈不足章提出了盈不足各种情形的一般解法及用之于解决算术杂题的方法。卷1方田章提出了若干平面图形的面积公式;卷5商功章提出了若干多面体和圆体的体积公式及土方工程问题;卷9勾股章提出了勾股定理,若干解勾股形问题,勾股容方、容圆及若干简单测望问题,其中有世界上最早的勾股数通解公式。卷4少广章提出了世界上最早的完整的开平方、开立方程序,卷9还有一测望问题归结到开带从平方即求解二次方程;卷8方程章的方程术即现今线性方程组解法,是本书最杰出的成就,而正负数概念及其加减法法则超前其他文化传统几个世纪甚至上千年。本书确定了中国古代数学的基本框架,以计算为中心的特点及理论密切联系实际,以解决人们生产生活中的数学问题为目的风格,以及算法统率应用问题的基本形式。然而对数学概念没有定义,对数学公式、解法没有推导证明,是本书的严重缺点。此后,中国数学著述主要采用两种方式,一是以本书为楷模编纂新的著作,一是为本书作注,其最重要的为魏刘徽注和唐李淳风等注释。
        刘徽《九章算术注》在很大程度上弥补了本书的不足,就其数学贡献及重要性而言与本书不分轩轾。刘徽是魏晋间数学家,据考证为淄乡(今山东省)人,生平不详。魏陈留王景元四年(263)注本书,并自撰注“重差”作为第10卷,后“重差”以《海岛算经》为名单行。又撰《九章重差图》一卷,已佚。
        刘徽注全面论证了本书的公式、解法。它发展了本书的率概念,提出了率的定义:“凡数相与者谓之率”,并把率看成运算的纲纪,提出率有“粗则俱粗,细则俱细,两数相抱”的性质,论述了率的二种等量变换:乘以散之,约以聚之,齐同以通之,用率论述了本书大部分算法,近200个题目。它提出今有术是普遍方法,九章中的许多问题的解法都可以归结到此术,所谓今有术即比例方法,西方称为三率法。它发展了前代数学家使用的出入相补原理,运用该原理,证明了许多多边形面积及多面体体积公式。将无穷小分割方法引入数学证明是刘徽注的最大成就。圆田术注用极限思想证明了圆田术“半周半径相乘得积步”即圆面积公式。它用圆内接正多边形序列逼近圆,“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”继而将与圆周合体的正多边形分割成无穷多个小三角形,求其面积之和便完成了证明。它关于体积问题的论述已经接触到现代数学体积理论的核心问题。阳马术注指出,鳖臑(四面体)是解决多面体体积的“功实之主”,与现代数学的结论完全一致。它认为用基验法与有限次分割,无法证明本书的阳马(直角四棱锥)体积等于其长、宽、高之积的1/3,及鳖臑(四面皆为勾股形的四面体)体积等于其长、宽、高之积的1/6这两个公式,遂将一个长方体沿相对两棱斜解,得到两个堑堵,将一个堑堵斜解,得到一个阳马与一个鳖臑,接着提出一个重要原理:在一个堑堵中,“阳马居二,鳖臑居一,不易之率也。”即堑堵中阳马与鳖臑体积之比恒为2∶1,它用三个互相垂直的平面平分堑堵的长、宽、高,首先证明了上述原理在堑堵的3/4中成立,又以同样的方式分割剩余的1/4(为与原堑堵相似的两小堑堵),又可证明上述原理在剩余的1/4的3/4中成立,这个过程可以无限继续下去,“半之弥少,其余弥细。至细曰微,微则无形。由是言之,安取余哉?”便证明了上述原理在整个堑堵中成立。根据该原理,由堑堵体积为其长、宽、高之积的1/2,便同时证明了本书的阳马、鳖臑体积公式。数学大师高斯曾提出四面体体积的解决不借助无穷小分割是不可能的猜想,这一猜想后来成为希尔伯特“数学问题”的第三个问题(1900)的核心,并由希氏的学生给以肯定的解决。刘徽在他们之前约1600年就开始考虑该问题,并以此为基础建立自己的多面体理论。刘徽注提出圆锥、圆台、球分别与外切方锥、方台、牟合方盖(刘徽设计的一种立体)的体积之比为π∶4,批评了本书球体积公式的错误,指出了解决球体积的正确途径,为后来祖暅之原理的提出并最终解决球体积问题作了准备。刘徽注把无穷小分割思想用于近似计算。首先是创造圆周率的正确求法,它批评本书使用周三径一及前人“习其谬失”的错误,利用割圆程序与勾股定理求出直径为2尺的圆的内接正6、12……96边形的边长及192边形的面积,取314寸²为圆面积近似值,利用圆面积公式求出圆周长近似值6尺2寸8分,从而求出圆周率157/50,用同样的方法又求出π=3927/1250。人们认为,后来祖冲之利用这一方法将π值精确到8位有效数字。刘徽注指出本书弓形面积公式不准确,便利用割圆方法,用一串三角形面积之和逼近弓形,可以把弓形面积精确到所需要的程度。在开方不尽时,它提出求微数的方法,与现今求无理根近似值的方法相同,不仅开后来十进小数之先河,而且是计算圆周率精确近似值的重要步骤。求微数的思想及计算圆周率近似值的程序奠定了中国圆周率计算领先世界千余年的基础。
        刘徽注把数学的各个分支与全部知识看成一个有机整体:“事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本干知,发其一端而已。”这个端就是“规矩度量可得而共”。这也形象地概括了中国数学以算法为中心,几何问题与算术、代数问题相结合的特点。刘徽注论证严谨,条理清晰,没有任何循环推理,并且以演绎逻辑为主。刘徽注还对学习研究数学的方法作了精辟论述,把数学方法比作庖丁的刃,“易简用之则动中庖丁之理”,认为不懂得灵活运用数学方法,徒按本术,便是胶柱调瑟之类。这些思想对后世影响极大。
        李淳风(602—670),唐初天文学家、数学家。岐州雍(今陕西省凤翔县)人。贞观初入太史局,造浑仪。十五年(641)迁太史丞,二十二年迁太史令。造麟德历,撰《晋书》、《隋书》之《律历志》,及《乙巳占》等。奉诏与算学博士梁述等编纂注释《算经十书》,显庆元年(656)完成,高宗颁国学行用。
        李淳风等《九章算术注释》批评了本书的输章负笼术的错误,以π=22/7代替本书之π=3及徽率π=157/50入算,其他方法则几无创新,而他对刘徽注的几处批评都反映出其数学水平、逻辑思想远在刘徽注之下。李淳风等注释最有意义的是引用祖暅之开立圆术,保存了祖暅之原理,即“夫叠綦成立积,缘幂势既同,则积不容异”,以及祖暅之以此原理求出牟合方盖的体积,从而彻底解决球体积公式的方法。《缀术》失传之后,祖冲之父子的这两项重大成就赖此得以流传。传本《九章算术》卷5、7、8无李淳风等注释。