测圆海镜
《测圆海镜》原名《测圆海镜细草》,是中国古代重要数学著作,现存最早的天元术著作,宋元数学高潮的代表作之一。元李冶1248年撰。李冶去世后不久即被刊刻,今已不存。目前所存最早抄本为元明间宋景濂(宋濂之字,1310—1381)所抄,清转入丁杰手中,今藏北京图书馆。明代数学落后,数学家不能理解宋元的高深成就,顾应祥撰《测圆海镜释术》(1500)买椟还珠,删去该书中最精彩的列方程方法——天元术。清中叶李潢(?—1812)家藏一本,乾隆间由馆臣抄录,略加校勘,抄入《四库全书》。18世纪末阮元(1764—1849)由《四库全书》文澜阁本抄得一部,嘉庆二年(1797)嘱李锐将此本与丁杰藏本合校,保留了四库馆臣按,补充了新设四率及若干按语,次年由鲍廷博刻入《知不足斋丛书》,此后《白芙堂算学丛书》本、同文馆集珍本、《古今算学丛书》本、《丛书集成(初编)》本均是《知不足斋丛书》本的翻刻本或排印本。
李冶(1192—1279),字仁卿,号敬斋,原名李治,金元数学家、文学家、历史学家,真定栾城(今河北省栾城县)人,生于大兴城(今北京市)。其父李遹,金明昌词赋科进士,是能诗善画博学多才的学者,且刚直不阿,为政清廉。李冶自幼受到良好的道德品质教养和深厚的传统文化教养。金正大七年(1230)中词赋科进士,任钧州(今河南省禹县)知事,时元与南宋联合灭金,1232年元兵破城,李冶遂微服北渡,流落忻、崞(今山西省北部)间,开始了艰苦卓绝的学术生涯。他常“饥寒不能自存”,却毫不介意,“聚书环堵”,从事数学及文史研究,完成《测圆海镜》12卷。后来到太原、平定,经济条件有所好转。1251年回到少年求学的元氏县封龙山隐居,主持封龙书院,1259年完成《益古演段》3卷。不管是流离顿挫,还是安定的隐居,他“未尝一日废其业,手不停披,口不绝诵,如是者几五十年”,成为“经为通儒,文为名家,其名德雅望又为一时衣冠之龙门”的大学者。他与元好问、张德辉交往甚密,时人誉为龙山三老。忽必烈闻李冶贤,1257年5月在开平召见了他,李冶向忽必烈表达了进君子、退小人,主张任人唯贤,反对种族偏见,减刑罚,止征伐的政治主张,这就是有名的王庭对问。1260年,忽必烈即皇帝位,次年又在燕京(今北京)召见李冶,聘为翰林学士、知制诰、同修国史,但李冶具有独立思想,且过惯了木石为居、麋鹿与游的田园生活,羞于作“翰林视草,唯天子命之,史馆秉笔,以宰相监之”的御用文人,一年后便以老病为辞还山,直至1279年去世。李冶一生著述颇丰,有《敬斋古今黈》40卷(今存宗于明刻本的12卷本及由《永乐大典》辑录的8卷本两种),表达了他对历代诗文、历史事件、人物品评、各种见闻以及修身养性等各方面的独到见解;还有《壁书丛削》12卷、《文集》40卷,已失传,《泛说》40卷,也失传,只有个别条目附于《敬斋古今黈》。李冶临终前对其子说:“吾平生著述,死后尽可燔去。独《测圆海镜》一书,虽九九小数,吾尝精思致力焉,后世必有知者,庶可布广垂永乎?”表明他最得意的还是《测圆海镜》。在自序中,他论述了事、技、道的关系,指出圣人并不排斥事、技,批评了道学家视研究科学技术和实际问题为玩物丧志的错误看法,批评了轻视数学的习俗,表示了不计悯笑、矢志研究数学的决心。他还认为,说数学难研究是可以的,说数学不能研究,是不对的;认为数学出于自然,不能以力强穷之,若“推自然之理,以明自然之数”,则什么问题都可以解决。这些看法至今仍有教益。
《测圆海镜》12卷,170问,取“天临海镜之义”,以测圆问题为核心,以天元术为主要方法。卷1是全书的预备知识和理论基础,包括圆域图式,总率名号,今问正数,识别杂记4部分,圆域图式是全书的总图,表示了圆与15个勾股形的相互位置,用天、地、乾、坤、巽、艮、日、月、山、川、东、西、南、北、心等表示点,相当于现代数学用A、B、C、D表示点,是个创举。总率名号定义了15个勾股形:通勾股形、边勾股形、底勾股形、黄广勾股形、黄长勾股形、上高勾股形、下高勾股形、上平勾股形、下平勾股形、大差勾股形、小差勾股形、极勾股形、虚勾股形、明勾股形、勾股形及其各边。今问正数则以通勾股形的勾、股、弦320、600、680为基数,给出勾、股、弦各种关系的数值。识别杂记包括692条公式,阐明各勾股形边长之间的关系及其与圆径的关系,分别归于诸杂名目、五和五较、诸弦、大小差、诸差、诸率互见、四位相套及拾遗八项,这些公式经过证明,除8条外都是正确的,是为集前此中国学者关于圆与勾股形关系知识之大成。全书的其他公式、各类问题的解法均可由这些公式推出,其中诸杂名目包括了若干基本公式,尤以最后10个圆径公式最为重要,是识别杂记乃至全书的纲。测圆问题源于《九章算术》勾股容圆问,到宋元时期,发展为一项重要的专题研究,洞渊九容就是李冶之前关于这一课题的成果,九容是关于勾上容圆、股上容圆、弦上容圆、勾股上容圆、勾外容圆、股外容圆、弦外容圆、勾外容圆半、股外容圆半9种情况下圆径与勾股形三边的关系公式(也有人认为包括勾股容圆而无弦上容圆)。本书便是在洞渊九容基础上演绎出来的,其卷2便介绍了以上10种容圆的圆径公式。卷3-10,依次依边股、底勾、大股、大勾、明前、明后、大斜、大和、三事和配各事形成了不同的题目。卷11是综合题目,卷12为“之分”。自卷2-12凡170问都是求圆径问题,且答案亦同。各题分题目、答、法、草4部分。法列出解法,主要是开方式即一元方程,草则说明解法的推导过程,主要用天元术。
天元术是本书解题的主要方法,也是本书现在备受重视的原因所在。所谓天元术就是设未知数列方程的方法:先设某为天元一(相当于现今设某为未知数x),然后根据问题的条件,列出两个等价的天元式即多项式,将此两天元式如积相消,便得到一个开方式即今之一元二次或高次方程。这实际上是一种半符号代数学。从本书可以看出,李冶已熟练地掌握了多项式的加、减、乘、除(只限于除数为单项式)。天元式的表示法是在未知数右侧记一“元”字,或在常数项旁记一“太”字,未知数的其他幂次则分列于“元”或“太”之上下,依位置定其幂次。天元术产生于何时,书简有缺,难以详考,其记法也有一个发展过程。据李冶说,最初人们用人表示常数项,人之上“天、……仙”9个字表示未知数的正幂,人之下“地、……鬼”9个字表示其负幂。李冶时代有古法图式:以太代替人表示常数项,省去天、地之外的各字,以天元在上表示正幂,地元在下表示负幂,又有今法图式:天元在下表示正幂,地元在上表示负幂。李冶处于天元式记法简化及由古法向今法过渡的阶段。他在本书中用古法,但取消表示负幂的地元,确定了元或太之后,其余幂次皆由其与元(或太)的相对位置决定。如1、2元3、4便表示x2+2x+3+4x-1,这是李冶的贡献。后来在《益古演段》中他又改用今法,即高次幂在下。
对本书的开方法李治没明确说明。数学史界公认是用增乘开方法。他的开方式的系数可正、可负,可以是小数,也可以是分数,且没有常数项水远为负的限制。本书在开方中也处理了常数项变号与绝对值增大的情况,分别称为翻法(或倒积)与益积,前者相当于秦九韶的“换骨”,后者相当于“投胎”。本书中十进小数的概念,也十分明确,也以名数单位起小数点的作用。
李冶(1192—1279),字仁卿,号敬斋,原名李治,金元数学家、文学家、历史学家,真定栾城(今河北省栾城县)人,生于大兴城(今北京市)。其父李遹,金明昌词赋科进士,是能诗善画博学多才的学者,且刚直不阿,为政清廉。李冶自幼受到良好的道德品质教养和深厚的传统文化教养。金正大七年(1230)中词赋科进士,任钧州(今河南省禹县)知事,时元与南宋联合灭金,1232年元兵破城,李冶遂微服北渡,流落忻、崞(今山西省北部)间,开始了艰苦卓绝的学术生涯。他常“饥寒不能自存”,却毫不介意,“聚书环堵”,从事数学及文史研究,完成《测圆海镜》12卷。后来到太原、平定,经济条件有所好转。1251年回到少年求学的元氏县封龙山隐居,主持封龙书院,1259年完成《益古演段》3卷。不管是流离顿挫,还是安定的隐居,他“未尝一日废其业,手不停披,口不绝诵,如是者几五十年”,成为“经为通儒,文为名家,其名德雅望又为一时衣冠之龙门”的大学者。他与元好问、张德辉交往甚密,时人誉为龙山三老。忽必烈闻李冶贤,1257年5月在开平召见了他,李冶向忽必烈表达了进君子、退小人,主张任人唯贤,反对种族偏见,减刑罚,止征伐的政治主张,这就是有名的王庭对问。1260年,忽必烈即皇帝位,次年又在燕京(今北京)召见李冶,聘为翰林学士、知制诰、同修国史,但李冶具有独立思想,且过惯了木石为居、麋鹿与游的田园生活,羞于作“翰林视草,唯天子命之,史馆秉笔,以宰相监之”的御用文人,一年后便以老病为辞还山,直至1279年去世。李冶一生著述颇丰,有《敬斋古今黈》40卷(今存宗于明刻本的12卷本及由《永乐大典》辑录的8卷本两种),表达了他对历代诗文、历史事件、人物品评、各种见闻以及修身养性等各方面的独到见解;还有《壁书丛削》12卷、《文集》40卷,已失传,《泛说》40卷,也失传,只有个别条目附于《敬斋古今黈》。李冶临终前对其子说:“吾平生著述,死后尽可燔去。独《测圆海镜》一书,虽九九小数,吾尝精思致力焉,后世必有知者,庶可布广垂永乎?”表明他最得意的还是《测圆海镜》。在自序中,他论述了事、技、道的关系,指出圣人并不排斥事、技,批评了道学家视研究科学技术和实际问题为玩物丧志的错误看法,批评了轻视数学的习俗,表示了不计悯笑、矢志研究数学的决心。他还认为,说数学难研究是可以的,说数学不能研究,是不对的;认为数学出于自然,不能以力强穷之,若“推自然之理,以明自然之数”,则什么问题都可以解决。这些看法至今仍有教益。
《测圆海镜》12卷,170问,取“天临海镜之义”,以测圆问题为核心,以天元术为主要方法。卷1是全书的预备知识和理论基础,包括圆域图式,总率名号,今问正数,识别杂记4部分,圆域图式是全书的总图,表示了圆与15个勾股形的相互位置,用天、地、乾、坤、巽、艮、日、月、山、川、东、西、南、北、心等表示点,相当于现代数学用A、B、C、D表示点,是个创举。总率名号定义了15个勾股形:通勾股形、边勾股形、底勾股形、黄广勾股形、黄长勾股形、上高勾股形、下高勾股形、上平勾股形、下平勾股形、大差勾股形、小差勾股形、极勾股形、虚勾股形、明勾股形、勾股形及其各边。今问正数则以通勾股形的勾、股、弦320、600、680为基数,给出勾、股、弦各种关系的数值。识别杂记包括692条公式,阐明各勾股形边长之间的关系及其与圆径的关系,分别归于诸杂名目、五和五较、诸弦、大小差、诸差、诸率互见、四位相套及拾遗八项,这些公式经过证明,除8条外都是正确的,是为集前此中国学者关于圆与勾股形关系知识之大成。全书的其他公式、各类问题的解法均可由这些公式推出,其中诸杂名目包括了若干基本公式,尤以最后10个圆径公式最为重要,是识别杂记乃至全书的纲。测圆问题源于《九章算术》勾股容圆问,到宋元时期,发展为一项重要的专题研究,洞渊九容就是李冶之前关于这一课题的成果,九容是关于勾上容圆、股上容圆、弦上容圆、勾股上容圆、勾外容圆、股外容圆、弦外容圆、勾外容圆半、股外容圆半9种情况下圆径与勾股形三边的关系公式(也有人认为包括勾股容圆而无弦上容圆)。本书便是在洞渊九容基础上演绎出来的,其卷2便介绍了以上10种容圆的圆径公式。卷3-10,依次依边股、底勾、大股、大勾、明前、明后、大斜、大和、三事和配各事形成了不同的题目。卷11是综合题目,卷12为“之分”。自卷2-12凡170问都是求圆径问题,且答案亦同。各题分题目、答、法、草4部分。法列出解法,主要是开方式即一元方程,草则说明解法的推导过程,主要用天元术。
天元术是本书解题的主要方法,也是本书现在备受重视的原因所在。所谓天元术就是设未知数列方程的方法:先设某为天元一(相当于现今设某为未知数x),然后根据问题的条件,列出两个等价的天元式即多项式,将此两天元式如积相消,便得到一个开方式即今之一元二次或高次方程。这实际上是一种半符号代数学。从本书可以看出,李冶已熟练地掌握了多项式的加、减、乘、除(只限于除数为单项式)。天元式的表示法是在未知数右侧记一“元”字,或在常数项旁记一“太”字,未知数的其他幂次则分列于“元”或“太”之上下,依位置定其幂次。天元术产生于何时,书简有缺,难以详考,其记法也有一个发展过程。据李冶说,最初人们用人表示常数项,人之上“天、……仙”9个字表示未知数的正幂,人之下“地、……鬼”9个字表示其负幂。李冶时代有古法图式:以太代替人表示常数项,省去天、地之外的各字,以天元在上表示正幂,地元在下表示负幂,又有今法图式:天元在下表示正幂,地元在上表示负幂。李冶处于天元式记法简化及由古法向今法过渡的阶段。他在本书中用古法,但取消表示负幂的地元,确定了元或太之后,其余幂次皆由其与元(或太)的相对位置决定。如1、2元3、4便表示x2+2x+3+4x-1,这是李冶的贡献。后来在《益古演段》中他又改用今法,即高次幂在下。
对本书的开方法李治没明确说明。数学史界公认是用增乘开方法。他的开方式的系数可正、可负,可以是小数,也可以是分数,且没有常数项水远为负的限制。本书在开方中也处理了常数项变号与绝对值增大的情况,分别称为翻法(或倒积)与益积,前者相当于秦九韶的“换骨”,后者相当于“投胎”。本书中十进小数的概念,也十分明确,也以名数单位起小数点的作用。
