《四元玉鉴》是中国古代重要数学著作,宋元数学高潮的代表作之一。元朱世杰撰。大德七年(1303)刻于扬州,莫若序.祖颐后序。此刻本今不传。明至清中叶,吴敬、顾应祥、周述学、梅彀成等数学家都见过此书,是否读懂是有怀疑的,因此未引起重视。清乾嘉间整理古算风起,嘉庆间阮元在浙江访得此书,呈入四库,并将钞本嘱李锐(1768-1817)算校,锐临终前仅校数段,何元锡随即按钞本刊刻。此后沈钦裴、罗士琳、徐有壬、戴煦、李善兰、陈棠等都对本书作过深入研究。沈钦裴作《四元玉鉴细草》,有两种抄本,一为5册本,白桂贞、白焜道光元年(1821)抄,只草至卷中;一为6册本,为全帙,有沈氏道光九年(1829)自序。沈氏对四元消法及高阶等差级数求和问题都有很好的理解,某些方面远远超过后来的罗士琳,可惜其细草未能刊刻,影响不大,甚至有人认为不如罗氏细草。这两个抄本今藏北京图书馆。罗士琳道光初年开始研究此书的各版本,历10余年,撰《四元玉鉴细草》24卷,道光十七年(1837)刊行。罗氏提出校改130余处,并对每一问都给出详草,后来诸版皆宗于此,成为研究本书之必读作品,影响甚大,然对四元消法及对各高阶等差级数的解释,未能尽合朱世杰原意。李善兰作《四元解》(1845),亦不理想。陈棠作《四元消法易简草》(1899)对理解本书较有裨益。李俨、钱宝琮、严敦杰、杜不然等都对本书作过深入研究。本世纪以来还出现了若干用西方文字研究本书的著作。三上义夫、萨顿、李约瑟等用英文介绍过本书。赫师慎将假令四草译成了法文,谢元作出版了研究本书的法文专著。陈在新将本书译成英文,可惜未能出版。
        朱世杰(生卒年不详),字汉卿,号松庭,燕( 一说燕山,今北京市或其附近)人。元统一中国后,以数学名家周游湖海20余年,踵门而学者云集。他继承宋元期间北方太行山两侧及南方长江中下游地区两个数学中心的研究成果,集中了中世纪中国数学成就之大成,著《算学启蒙》及本书,先后于大德三年(1299)、七年(1303)在扬州刊刻,在四元术即多元高次方程组解法、垛积术即高阶等差级数求和、招差术及乘除捷算法等方面贡献尤为突出。清中叶以来学者一致认为他兼秦(九韶)、李(冶)之长而在秦、李二家之上。他是中国古代最后一位有领先于世界的重大创造的数学家。
        本书卷首首先列出4种图:今古开方会要之图,包含梯法七乘方图与古法七乘方图两幅,前者即增乘开方法之图示,盖增乘开方又称为递增开方、梯法开方,后者是一种9层8次方的贾宪三角。值得注意的是朱世杰用平行于两斜边的两组平行线将各廉联结起来,说明其用途不仅在立成释锁开方,亦用于高阶等差级数求和;四元自乘演段之图,即四元勾a、股b、弦c、黄方a+b-c的四种关系的乘积图示;五和自乘演段之图,即弦较和(b-a)+c、勾股和a+b、勾弦和a+c、股弦和b+c、弦和和(a+b)+c五种关系的乘积图示;五较自乘演段之图,即勾股较b-a、股弦较c-b、勾弦较c-a、弦和较(a+b)-c、弦较较c-(b-a)五种关系的乘积图示。接着列出四象细草假令之图,给出了 一气混元、两仪化元、三才运元、四象令元4个例题,分别是天元术、二元术、三元术、四元术的解题模式。这些图和题目都是举例发凡,贯穿全书的纲纪。
        本书分3卷、24门、288问。卷上7门55问(含假令四草),直段求源18问、混积问元18问,都是各种田亩面积问题;端匹互隐9问,是有关罗、绫等织物的计算问题;廪粟回求6问,是谷物容积问题;商功修筑7问,是各种土木建筑问题;和分索引13问,是关于分数的各种运算。卷中10门,103问,如意混和2问,是难度较大的混合问题;方圆交错9问,是方田与圆田的混合问题;三率究圆14问,以古率π=3、微率157/50、密率(实际上应为约率)22/7计算有关圆与球的问题;明积演段20问、勾股测望8问,是有关勾股形及测望问题的计算问题;或问歌录12问,是以诗歌形式给出的计算问题,其中有二元术2问、三元术1问;茭草形段7问、箭积交参7问,在用天元术求解时都要用到垛积术;拨换截田19问是截割田亩的面积问题;如象招数5问,在用天元术求解时要用到招差术。卷下8门,110问。果垛叠藏20问,用天元术求解时要用到垛积术;锁套吞容19问,是各种图形相互交错,求所余面积;方程正负8问,都是先用方程术,后用天元术求解;杂范类会13问,是各种杂题;两仪合辙12问、左右逢元21问,是用二元术解决各种勾股及面积问题;三才变通11问,是用三元术解决的各种勾股问题;四象朝元6问,是用四元术解决的各种勾股问题。
        本书全部用天元术、二元术、三元术、四元术求解,其中36问用二元术,13问用三元术,7问用四元术,其余232问都用天元术。天元术即设未知数天元列出现今一元方程的方法,二元术是设未知数天元、地元列出二元高次方程组并消元的方法,三元术是设未知数天元、地元、人元列出三元高次方程组并消元的方法,四元术是设未知数天元、地元、人元、物元列出四元高次方程组并消元的方法。天元术至迟在李冶(1192—1279)时代就有成熟的方法。据祖颐为本书所撰后序说,在天元术产生后,“平阳李德载因撰《两仪群英集臻》,兼有地元,霍山邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》,末仅有人元二问。吾有燕山朱汉卿先生演数有年,探三才之颐,索《九章》之隐,按天、地、人、物立成四元”,大体概述了自天元术到四元术的发展过程,可惜上述朱世杰之前的著作均失传。本书是现存中国也是全世界记载多元高次方程组的最早著作。四元消法,即多元高次方程组消去法是本书的突出创造。其程序基本上是将四元消成三元,将三元消成二元,再消成一元高次方程,用增乘开方法求解。到底如何消法,因本书提示过于简略,历来有争论,杜石然认为沈钦裴的解释更符合朱氏原意。四元消法,至今仍有应用价值。在欧洲,多元高次方程组消去法在1779年法国数学家别朱(Bézout)才有系统的叙述。然而,四元式采取常数项居中(以太字表示),天、地、人、物四元分列于太之下、左、右、上的布列方法,4个未知数占满了平面上4个方位,显然,无法考虑5个或更多的未知数的高位方程组,是其缺点。
        本书提出的许多问题在用天元术解决时,必须用到垛积术,因此,高阶等差级数求和问题是本书的另一项重要成就。朱世杰在沈括、杨辉的基础上,解决了更高阶的等差级数求和问题。他的茭草垛、三角垛(或称落一形垛)、撒星形垛(或称三角落一形垛)、三角撒星形垛(或称撒星更落一形垛)、三角撒星更落一形垛的求和公式,形成了一个完整的系统:

p=1,2,3,4,5,便是上述各垛积的求和公式。显然,前一式的前r项之和,恰恰是后一式的第r项,这正是朱世杰把后一垛称为前一垛的落一形垛的原因。同时,由朱世杰在贾宪三角上划的斜线看出,第p条斜线上前n个数之和恰恰是第p+1条线上的第n个数,这可能提示了上述垛积公式是由贾宪三角推得的。这串公式是朱世杰垛积招差问题的中心。朱世杰还解决了四角垛、岚峰形垛、三角岚峰形垛(或称岚峰更落一形垛)等垛的求和问题,也成为一系统,其求和公式为

当p=1,2,3时便是上述诸垛的求和公式(p=1的情况出现在《算学启蒙》中)。本书还有一些更复杂的垛积求和问题。
        本书的招差问题与垛积问题互为表里,也是最精彩的部分之一,在中国也是在全世界第一次给出了4次差的招差公式:

其中△1、△₂、△₃、△4分别为一次差、二次差、三次差、四次差。本书明确指出,该公式中的各系数是三角垛的和,因此,人们认为朱世杰已经掌握了任意高次差的招差法。在欧洲,直到17世纪牛顿、格里高利才取得了同样的结果。