《周髀算经》是中国最早有体系的天文学理论著作。作者不知。成书时间依书中星象数据按岁差原理求之,当在汉哀平、新莽时期。原名《周髀》,意谓“立在周城的表竿”。因书中含算学内容,被唐朝国子监定为算学科必修的十部算经之一。后遂通称今名。这使人多认为它只是一部数学书。书中主题是阐述盖天说宇宙理论。这在唐代即已过时,唐人重视的是其数学内容,即勾股重差等事。它确实也是一部重要的数学史文献。现存最早版本是上海图书馆藏宋嘉定六年本,其中收有三国赵爽(君卿),北周甄鸾、唐李淳风三家注,皆有重要参考价值。近人研究者首推钱宝琮,著《盖天说源流考》等文。今人薄树人、李志超,有进一步的阐发。较之清儒诸家进展很大。
        本书分上下2卷,约7000字。开头述周公与商高的问答,相当于绪论,给出了基本概念和方法。“折矩以为勾广三、股修四、径隅五。”是勾股定理在中国最早最普及的陈述,后文“日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之得邪至日”则为一般化陈述,赵君卿注用割补法为之作了证明。勾股法作为应用几何学,实际包络了古代几乎全部几何学。本书以之用于天文学,极言其作用之大:“环矩以为圆,合矩以为方。方属地,圆属天,天圆地方,方数为典,以方出圆。”很多人误以为古人有过天圆地方的宇宙模型,其实此处所指只是天地的属性,不是几何形状。天有绕北极的旋转运动,绘图成圆;地以天定向,测之以矩,绘图成方。如是而已。
        正文以陈子和荣方对话开头,先谈些科学观和方法论:“夫子之道,知日之高大,光之所照,一日所行远近之数,人所望见四极之穷,列星之宿,天地之广袤。”“此皆算术之所及。”是完全相信科学和理性,主张世界可以认识的。全书内容有不少数学和逻辑的矛盾,而上卷自身似仍不失为一完整自洽的体系,其中含有下列天文学概念:
        1、给出了基本的观测和计算方法——立竿测影和勾股重差,假定8尺直竿夏至正午影长南北千里差1寸。这意味着天和地是一对平行平面。书中由此求得天地间距是8万里。
        2、天平面以北极为中心旋转,周期为1昼夜;太阳在天平面上沿黄道运行,周期为1年。太阳在天上每天划出的同心圆,冬至半径最大,夏至半径最小,春秋二分为中间值。按等间隔规定7个同心圆为“七衡”,中间有6个间隔为“六间”。冬至圆为外衡,夏至圆为内衡,二分中衡。
        3、提出日光照射有极限距离16.7万里的假说,由此解释昼夜的形成(下卷又从日道离人居处远近和离北极远近解释四季寒暑以及南北气候差异)还说到北极之下一年只有一昼一夜。
        书中给定一个叫“周城”的地方,从那里观测应有如下数据:距极10.3万里,距内衡1.6万里,距外衡13.5万里。于是外衡半径恰为内衡二倍,冬至日照外及距极40.5万里处,直径恰为81万里。主要数据的整齐性显出了拼凑的痕迹,而这周城也只能是非现实地点,不过它的影长数却近似北纬35°实情。
        下卷部分地修改了上卷的平行天地模式,“极下者其地高人所居6万里,滂沲四隤而下,天之中央亦高四旁6万里”。近代人多以为这讲的是一种同心球面模式,然而全书坚持立竿测影和勾股重差,却以平行平面模式为本。一种看法认为,高出部分应仅限于书中所谓“璇玑”的小圈里,其中心为北极,直径2.3万里,其它仍为平行平面。
        下卷的重点内容是描述星位测量和星图绘制的方法那一部分,这应是上古还没有浑天说时中国天文学的基本方法。历代天文台出于尊古风尚,都保留表影观测项目,但只测午影长度,象征着旧制犹存。竿影测量的其它功能都由浑仪取代了。周髀之法为:在平地上画出周长365 1/4尺的大圆,用东西和南北二直径分圆为四象限,圆心直立八尺表竿,以竿头为投影中心,用目视瞄准求得天体在地面上的投影并进行度量,再以所得数据为依据在大圆内外绘成星象图。《汉书》:“定东西,立晷仪,下漏刻,以追二十八宿相距于四方。”就是这种操作。
        古人关心的主要是赤道附近恒星——二十八宿的测度,这与日月运行有关。如果观测点正当极下,且天形真是平面,则此法确可精测全天星度。然而实际上观测点既远离极下,天也不是平面。在这种测量中仅正当天顶的天体可给出比例相似形,正南赤道附近的星象在经度上也有相对固定的比例关系。书中暗示知道这个比例关系:“即以三百六十五度四分度之一而各置二十八宿,以东井夜半中,牵牛之初临子之中……于是天与地协,乃以置周二十八宿。”这里,“天与地协”是天象与地上星图一致,“夜半中”是说东井在正南,“牵牛之初”与东井差半周天,要求“临子之中”,即在正北。这样绘成的星图是以北极为中心的圆图,古称“盖图”。
        观测方法中还含有“以漏揆度之”一条,即利用计时器辅之。现已考明汉代漏刻精度已经够高,足以用于这项工作。一个天体在它到达正南方位之后,再过一个精确的一昼夜时间应向西偏移周天的365 1/4分之一,对应地上大圆一尺。从此可以掌握精确的投影比例因子。由各星上中天的时刻也不难获得星体赤径数据。并非只有浑仪才可得到精密数据。
        周髀数术自然地说明了:中国古代何以分圆周为365 1/4度,而非西式360°,目视测天何以有丈尺单位,天体赤径何以用“入宿度”表示。这些都是竿影法中直接测得的数据。后来浑天家创用浑仪,虽然这些老式数据体制应予改进了,但却还是保留到明末西学的传入为止。
        下卷最费解的内容是“去极度”数据。在浑天家,天被看成球,有子午圈,它与赤道圈一样,也分为365 1/4度,去极度是相当于纬度的概念。冬至日去极115 5/8
        度,夏至日去极67 5/8度,春秋分日去极91 5/8度。周髀以天为平面,本元子午圈,只有去极里数而无所谓去极度。七衡各有半径。可是书中却算出:外衡“牵牛去北极百一十五度……”中衡“娄与角去北极九十一度……”内衡“东井去极六十六度……”(小数冗长,皆略去)算法是拿三个半径里数或加或减(或不加减)璇玑半径,再以内衡周长的365 1/4分之一去除(注意其圆周率是3)这明显是凑数。璇玑是为凑数而设计的虚拟之物。
        这个引人注目的矛盾早年曾令研究者甚为困惑。实际上它反映的是中国历史上的重大科学事件“浑盖之争”的信息。汉武帝支持洛下宏的浑天说,否决了司马迁等太史令们的旧说。浑天说的天球概念与观测一致,受到天文学家普遍承认。盖天派的保守学者穷于应付,乃著《周髀》,一方面综述其先师所传,一方面苦心构造各种说词和数字以求摆脱困境。他们可以置诸多疏漏于不顾,唯求“天不得转入地下”这个基本观念不被推翻。结果是如蔡邕所说:“周髀术数俱存,验天多所违失。”
        虽然周髀之学早自汉武就失去了在天文学实践中的地位,但它却是一部最早的有理论体系的自然科学书。特别是,全书虽以言天为主,却只字不涉神学观念,成为中国自然科学唯物主义的表率之作。《周髀算经》保存了中国古代宇宙论发展史的重要信息,是中国科学史上结束一个时代的里程碑。