圆锥
术曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。
【评】此圆锥体积公式基于周三径一:V=l2h。其中l,h分别为下周长,高。
按:此术圆锥下周以为方锥下方。方锥下方令自乘,以高乘之,合三而一,得大方锥之积[“方锥”原本作“锥方”,依李潢改]。大锥方之积合十二圆矣。今求一圆,复合十二除之,故令三乘十二得三十六而连除。
于徽术,当下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,九百四十二而一。
【评】此为刘徽所记载的对圆锥公式的证明及刘徽用π≈157/50对公式的修正。其中用到圆锥与以该圆锥底周长为底边的方锥体积之比等于1 ∶ 12的原理,当源于《九章算术》成书时代,亦为祖暅之原理的滥觞。
又,此术亦用周三径一之率。假令以三除周,得径。若不尽,通分内子,即为径之积分。令自乘,以高乘之,为三方锥之积分。母自相乘得九,为法。又当三而一,约方锥之积。从方锥中求圆锥之积,亦犹方幂求圆幂,乃当三乘之,四而一,[原本此下衍“方锥”二字,依戴震删],得圆锥[原本讹作“幂”,依戴震校正]之积。前求方锥〔原本脱“锥”字,钱宝琮补〕积乃合三而一,今求圆锥之积,复合三乘之。二母既同,故相准折。惟以四乘分母九,得三十六而连除,圆锥之积。
圆锥比于方锥,亦二百分之一百五十七。命径自乘者,亦当以一百五十七乘之,六百而一。其说如圆亭也。
【评】在“委粟术”中,《九章算术》又提出了以底径和高求圆
锥体积的公式V=d2h。刘徽以π≈ 157/50将其修正成V=d2h。证明中刘徽用到了圆锥与其外切方锥体积之比为π∶4的原理。
汉《九章算术·商功》
【评】此圆锥体积公式基于周三径一:V=l2h。其中l,h分别为下周长,高。
按:此术圆锥下周以为方锥下方。方锥下方令自乘,以高乘之,合三而一,得大方锥之积[“方锥”原本作“锥方”,依李潢改]。大锥方之积合十二圆矣。今求一圆,复合十二除之,故令三乘十二得三十六而连除。
于徽术,当下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,九百四十二而一。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
【评】此为刘徽所记载的对圆锥公式的证明及刘徽用π≈157/50对公式的修正。其中用到圆锥与以该圆锥底周长为底边的方锥体积之比等于1 ∶ 12的原理,当源于《九章算术》成书时代,亦为祖暅之原理的滥觞。
又,此术亦用周三径一之率。假令以三除周,得径。若不尽,通分内子,即为径之积分。令自乘,以高乘之,为三方锥之积分。母自相乘得九,为法。又当三而一,约方锥之积。从方锥中求圆锥之积,亦犹方幂求圆幂,乃当三乘之,四而一,[原本此下衍“方锥”二字,依戴震删],得圆锥[原本讹作“幂”,依戴震校正]之积。前求方锥〔原本脱“锥”字,钱宝琮补〕积乃合三而一,今求圆锥之积,复合三乘之。二母既同,故相准折。惟以四乘分母九,得三十六而连除,圆锥之积。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
圆锥比于方锥,亦二百分之一百五十七。命径自乘者,亦当以一百五十七乘之,六百而一。其说如圆亭也。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
【评】在“委粟术”中,《九章算术》又提出了以底径和高求圆
锥体积的公式V=d2h。刘徽以π≈ 157/50将其修正成V=d2h。证明中刘徽用到了圆锥与其外切方锥体积之比为π∶4的原理。
