重差
以土圭之法测土深,正日景以求地中。日南则景短,多暑;日北则景长,多寒;日东则景夕,多风;日西则景朝,多阴。日至之景,尺有五寸,谓之地中,……
景尺有五寸者,南戴日下万五千里地,与星辰四游升降于三万里之中,是以半之,得地之中也。……郑司农云,土圭之长尺有五寸,以夏至之日立八尺之表,其景适与土圭等,谓之地中。
【评】此为《周礼》关于立表测日的记载,及郑玄的注。是为重差测日之滥觞。
周髀长八尺,夏至之日晷一尺六寸。髀者,股也。正晷者,勾也。正南千里,勾一尺五寸。正北千里,勾一尺七寸。……从髀至日下六万里而髀无影。从此以上至日,则八万里。
【评】这里立表求太阳高、远的方法,奠定了日后重差术的基础。北周甄鸾说:“求从髀至日八万里者,先置表高八尺,上十之为八十寸。以两表相去二千里乘之,得十六万为实。以影差二寸为法,除之,得从表端上至日八万里也。”这就是刘徽所说的重差术。然《周髀算经》求从髀至日下的方法并不正确,甄鸾以错误方法附会,唐李淳风指出依术应“得万五千里为日下去南表里”,并指出《周髀》和甄鸾地差千里影差一寸的假定是脱离实际的,“语术相违,是为大失”。
黄甲与黄乙①其实正等。以表高乘两表相去为黄甲之实。以影差为黄乙之广而一,所得则变得黄乙之袤,上与日齐。按图当加表高,今言八万里者,从表以上复加之。青丙与青己其实亦等。黄甲与青丙相连,黄乙与青己相连,其实亦等。
[注]①黄甲是以表高为广,两表距为从的矩形。黄乙是以影差为广,日高为从的矩形。②青丙是以表高为广,南表至日下为从的矩形。青己是以北表影长为广,日高为从的矩形。
【评】赵爽以重差术的图解解释《周髀算经》求日高的方法,说明重差术的基本方法在《周髀算经》成书时已具备了。
度高者重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望。触类而长之,则虽幽遐诡伏,靡所不入。
【评】刘徽在这里对他发展了的重差术的基本方法和应用作了概括,可视为《海岛算经》的纲领。
凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差、勾股,则必以重差为率,故曰重差也。立两表于洛阳之城,令高八尺。南北各尽平地,同日度其正中之景[原本讹作“时”,钱宝琮校正]。以景差为法,表高乘表间为实,实如法而一,所得加表高,即日去地也。以南表之景乘表间为实,实如法而一,即为从南表至南戴日下也。
【评】重差术源于《周髀》日高术,正如刘徽所说“徽寻九数有重差之名,原其指趣乃所以施于此也。”刘徽这段文字在中国数学史上首次完整地概括出重表法的公式。
今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合。从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合。问岛高及去表各几何?
术曰:以表高乘表间为实。相多为法,除之。所得加表高,即得岛高。求前表去岛远近者,以前表却行乘表间为实。相多为法,除之,得岛去表里数。
【评】这是著名的测海岛问题,《海岛算经》因以得名。所用方法和公式便是刘徽在《九章算术序》中所提出的求日高、远的方法。
今有南望方邑,不知大小。立两表,东、西去六丈,齐人目,以索连之。令东表与邑东南隅及东北隅参相直。当东表之北却行五步,遥望邑西北隅,入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表十三步二尺,遥望邑西北隅,适与西表相参合。问邑方及邑去表各几何?
术曰:以入索乘后去表,以两表相去除之,所得为景差。以前去表减之不尽,以为法。置后去表,以前去表减之,馀,以乘入索,为实。实如法而一,得邑方①。求去表远近者,置后去表,以景差减之,馀,以乘前去表,为实。实如法而一,得邑去表②。
[注]①设两表相去b1,入索b2,前去表a1,后去表a2,则邑方=②邑去表=
【评】钱宝琮认为,连索法是刘徽重差术的一种基本方法。
今有望深谷,偃矩岸上,令勾高六尺。从勾端望谷底入下股九尺一寸。又设重矩于上,其矩间相去三丈。更从勾端望谷底,入上股八尺五寸。问谷深几何?
术曰:置矩间,以上股乘之,为实。上、下股相减,馀为法,除之。所得,以勾高减之,即得谷深①。
三国魏·刘徽《海岛算经》
[注]①设勾为a,矩间为d,下股b1,上股b2,谷深=
【评】累矩法也是重差术的一种基本方法。钱宝琮指出,其他测望问题包括三望、四望问题,都可用重表、连索、累矩法解决。
魏刘徽注《九章》,立《重差》,著于勾股之下,以阐世术。夫度高测深勾股之法则无自而可知,故重表、累矩、三望、四望、旁求审察。是以松山高下,方邑大小,其重表也;岸望谷深,山望津广,其累矩也;登望松高,遥望波口,非三望之术乎;清渊白石,登山临邑,非四望之术乎。海岛去表为之篇首,因以名之,实《九章·勾股》之遗法也。迄今千馀载间,唐李淳风而续算草,未闻解白作法之旨者。辉尝置海岛小图于座右,乃见先贤作法之万一。若欲尽传,岂不轻易秘旨,或不传流,亦无伸前贤之美。本经题目广远,难于引证,学者非之。今将《孙子》度影量竿题问,引用详解,以验小图,姑以一问,其馀,好学君子自能触类而考,何必轻传。
【评】此为杨辉对刘徽重差法的概括及研究。
《周礼·司徒·大司徒》
景尺有五寸者,南戴日下万五千里地,与星辰四游升降于三万里之中,是以半之,得地之中也。……郑司农云,土圭之长尺有五寸,以夏至之日立八尺之表,其景适与土圭等,谓之地中。
《周礼·司徒·大司徒》汉·郑玄注
【评】此为《周礼》关于立表测日的记载,及郑玄的注。是为重差测日之滥觞。
周髀长八尺,夏至之日晷一尺六寸。髀者,股也。正晷者,勾也。正南千里,勾一尺五寸。正北千里,勾一尺七寸。……从髀至日下六万里而髀无影。从此以上至日,则八万里。
汉·《周髀算经》卷上
【评】这里立表求太阳高、远的方法,奠定了日后重差术的基础。北周甄鸾说:“求从髀至日八万里者,先置表高八尺,上十之为八十寸。以两表相去二千里乘之,得十六万为实。以影差二寸为法,除之,得从表端上至日八万里也。”这就是刘徽所说的重差术。然《周髀算经》求从髀至日下的方法并不正确,甄鸾以错误方法附会,唐李淳风指出依术应“得万五千里为日下去南表里”,并指出《周髀》和甄鸾地差千里影差一寸的假定是脱离实际的,“语术相违,是为大失”。
黄甲与黄乙①其实正等。以表高乘两表相去为黄甲之实。以影差为黄乙之广而一,所得则变得黄乙之袤,上与日齐。按图当加表高,今言八万里者,从表以上复加之。青丙与青己其实亦等。黄甲与青丙相连,黄乙与青己相连,其实亦等。
《周髀算经·日高图》赵爽注
[注]①黄甲是以表高为广,两表距为从的矩形。黄乙是以影差为广,日高为从的矩形。②青丙是以表高为广,南表至日下为从的矩形。青己是以北表影长为广,日高为从的矩形。
【评】赵爽以重差术的图解解释《周髀算经》求日高的方法,说明重差术的基本方法在《周髀算经》成书时已具备了。
度高者重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望。触类而长之,则虽幽遐诡伏,靡所不入。
三国魏·刘徽《九章算术注序》
【评】刘徽在这里对他发展了的重差术的基本方法和应用作了概括,可视为《海岛算经》的纲领。
凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差、勾股,则必以重差为率,故曰重差也。立两表于洛阳之城,令高八尺。南北各尽平地,同日度其正中之景[原本讹作“时”,钱宝琮校正]。以景差为法,表高乘表间为实,实如法而一,所得加表高,即日去地也。以南表之景乘表间为实,实如法而一,即为从南表至南戴日下也。
三国魏·刘徽《九章算术注序》
【评】重差术源于《周髀》日高术,正如刘徽所说“徽寻九数有重差之名,原其指趣乃所以施于此也。”刘徽这段文字在中国数学史上首次完整地概括出重表法的公式。
今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合。从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合。问岛高及去表各几何?
术曰:以表高乘表间为实。相多为法,除之。所得加表高,即得岛高。求前表去岛远近者,以前表却行乘表间为实。相多为法,除之,得岛去表里数。
三国魏·刘徽《海岛算经》
【评】这是著名的测海岛问题,《海岛算经》因以得名。所用方法和公式便是刘徽在《九章算术序》中所提出的求日高、远的方法。
今有南望方邑,不知大小。立两表,东、西去六丈,齐人目,以索连之。令东表与邑东南隅及东北隅参相直。当东表之北却行五步,遥望邑西北隅,入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表十三步二尺,遥望邑西北隅,适与西表相参合。问邑方及邑去表各几何?
术曰:以入索乘后去表,以两表相去除之,所得为景差。以前去表减之不尽,以为法。置后去表,以前去表减之,馀,以乘入索,为实。实如法而一,得邑方①。求去表远近者,置后去表,以景差减之,馀,以乘前去表,为实。实如法而一,得邑去表②。
三国魏·刘徽《海岛算经》
[注]①设两表相去b1,入索b2,前去表a1,后去表a2,则邑方=②邑去表=
【评】钱宝琮认为,连索法是刘徽重差术的一种基本方法。
今有望深谷,偃矩岸上,令勾高六尺。从勾端望谷底入下股九尺一寸。又设重矩于上,其矩间相去三丈。更从勾端望谷底,入上股八尺五寸。问谷深几何?
术曰:置矩间,以上股乘之,为实。上、下股相减,馀为法,除之。所得,以勾高减之,即得谷深①。
三国魏·刘徽《海岛算经》
[注]①设勾为a,矩间为d,下股b1,上股b2,谷深=
【评】累矩法也是重差术的一种基本方法。钱宝琮指出,其他测望问题包括三望、四望问题,都可用重表、连索、累矩法解决。
魏刘徽注《九章》,立《重差》,著于勾股之下,以阐世术。夫度高测深勾股之法则无自而可知,故重表、累矩、三望、四望、旁求审察。是以松山高下,方邑大小,其重表也;岸望谷深,山望津广,其累矩也;登望松高,遥望波口,非三望之术乎;清渊白石,登山临邑,非四望之术乎。海岛去表为之篇首,因以名之,实《九章·勾股》之遗法也。迄今千馀载间,唐李淳风而续算草,未闻解白作法之旨者。辉尝置海岛小图于座右,乃见先贤作法之万一。若欲尽传,岂不轻易秘旨,或不传流,亦无伸前贤之美。本经题目广远,难于引证,学者非之。今将《孙子》度影量竿题问,引用详解,以验小图,姑以一问,其馀,好学君子自能触类而考,何必轻传。
宋·杨辉《续古摘奇算法》
【评】此为杨辉对刘徽重差法的概括及研究。
