招差法
今有官司依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,每人日支钱二百五十文,已招二万三千四百人,支钱二万三千四百六十二贯。问招来几日①?
术曰:立天元一为三角落一底子,如积求之,得九万二千七百三十六为益实,六百六十为从方,一百八十一为从上廉,二十二为从下廉,一为正隅,三乘方开之,得三角落一底子一十二个②,加三即日数。
钱求日术曰:立天元一为三角撒星底子,如积求之,得五百六十一万八百四十为益实,一万八千三百六十二为从方,六千三百九十为从上廉,一千七十五为从二廉,九十为从三廉,三为正隅。四乘方开之,得三角撒星底子一十二个③,加三即日数。(原注:或问,还原依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,得数为兵。今招一十五方,每人日支钱二百五十文,问招兵及支钱各几何④?答曰:兵二万三千四百人,钱二万三千四百六十二贯。术曰:求得上差二十七,二差三十七,三差二十四,下差六。求兵者,今招为上积,又今招减一为茭草底子积为二积,又今招减二为三角底子积为三积,又今招减三为三角落一积为下积,以各差乘各积,四位并之,即招兵数也⑤。求支钱者,以今招为茭草积为上积,又今招减一为三角底子积为二积,又今招减二为三角落一积为三积,又今招减三为三角撒星积为下积,以各差乘各积,四位并之,所得又以每日支钱乘之,即得支钱之数也⑥。)合问。
草曰:立天元一为三角落一底子,加三得为第一次实,以天元加二乘之,得为第二次实,又以天元加一乘之,得为第三次实,又以天元乘之,得为第四次实。副以初招方面三再之,得二十七为上差;次方面四再之,得六十四,减上差,馀三十七为二差;倍二差加上差,得一百一,以减再次立方积一百二十五,馀二十四为三差;三因二差、三为下差。于是以上差乘第一次实,得,四之,得于上;以二差乘第二次实,得,倍之,得于中;以三差乘第三次实,得,三而二,得于中次;又以下差乘第四次实,得,六而一,得于下,并;上位,得为四倍招兵数④,寄左。乃以四通已招兵,得九万三千六百人为同数,消左,得,开三乘方,得十二个,加三,得十五日。
钱求日草曰:立天元一为三角撤星底子,加四得,以天元加三乘之,得为第一次实,又以天元加二乘之,得为第二次实,又以天元加一乘之,得为第三次实,又以天元乘之,得为第四次实。于是以上差乘第一次实,得,三十之,得于上;以二差乘第二次实,得,十之,得于中;以三差乘第三次实,得,四而一,复各超一位,得于中次;又以下差乘第四次实,得,半之,得于下。并四位,得,为六十倍招兵数⑧。合以日支二百五十文乘之,为六十倍共钱数。今省一乘,即以六十倍招兵数为一百分之二十四共钱数寄左。乃以分子二十四通共支钱,得五百六十三万八百八十为同数,消左,得,开四乘方,得十二个,加三,得十五日。(原注:依注还原草曰:依立方招兵,置二十七为上差,三十七为二差,二十四为三差,六为下差。求兵者,今招为上积,以上差乘之,得四百五于上,又今招减一,馀十四为茭草底子,以十五乘之,得二百十,如二而一,得一百五为二积,以二差乘之,得三千八百八十五于中;又今招减二,馀十三,为三角底子,以十四乘之,得一百八十二,又以十五乘之,得二千七百三十,如六而一,得四百五十五为三积,以三差乘之,得一万九百二十于副;又今招减三,馀十二,为三角落一底子,以十三乘之,得一百五十六,又以十四乘之,得二千一百八十四,又以十五乘之,得三万二千七百六十,如二十四而一,得一千三百六十五为下积,以下差乘之,得八千一百九十于下,并四位,得二万三千四百人。支钱者,今招为茭草底子,以十六乘之,得二百四十,如二而一,得一百二十为上积,以上差乘之,得三千二百四十,于上;又今招减一,馀十四为三角底子,以十五乘之,得二百十,又以十六乘之,得三千三百六十,如六而一,得五百六十为二积,以二差乘之,得二万七百二十于中;又今招减二,馀十三,为三角落一底子,以十四乘之,得一百八十二,又以十五乘之,得二千七百三十;又以十六乘之,得四万三千六百八十,如二十四而一,得一千八百二十为三积,以三差乘之,得四万三千六百八十于副;又今招减三,馀十二,为三角撒星底子,以十三乘之,得一百五十六,又以十四乘之,得二千一百八十四,又以十五乘之,得三万二千七百六十,又以十六乘之,得五十二万四千一百六十,如一百二十而一,得四千三百六十八为下积,以下差乘之,得二万六千二百八于下,并四位,得九万三千八百四十八。又以每日支钱乘之,得二万三千四百六十二贯。)合问。
[注]①此为已知a,b,d,A,B,由a3+(a+d)3+(a+2d)3+…+[a+(n-1)d]3＝A或{a3n+(a+d)3 (n-1)+(a+2d)3(n-2)+…+[a+(n-1)d]3 · 1}b=B求n的问题,朱世杰用招差法解决,此问中a= 3,d=1,A=2340,b=250,B=23462000。②此为四次开方式x4+22x3+181x2+660x-92736=0。③此为五次开方式3x5+90x4+1075x3+6390x2+18362x-5610840=0。④此为朱世杰以原题的逆问题阐述招差法公式。⑤首先求出各次差:
其次,利用高阶等差级数求和公式,求出上积n,二积(n-1)n,三积(n-2)(n-1)n,下积(n-3)(n-2)(n-1)n。总兵数为
f(n)=n⊿1+(n-1)n⊿2+(n-2)(n-1)n⊿3+(n-3)(n-2)(n-1)n⊿4。
这一公式与现今公式完全一致。⑥上积为n(n+1),二积为(n-1)n(n+1),三积为(n-2)(n-1)n(n+1),四积为(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)。支钱人日数为f(n′)=n(n+1)⊿1+(n-1)n(n+1)⊿2+(n-2)(n-1)n(n+1)⊿3+(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)⊿4。
总钱数为
[n(n+1)⊿1+(n-1)n(n+1)⊿2+(n-2)(n-1)n(n+1)⊿3+(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)⊿4]b。
⑦在注⑤的公式中令m=n-3,便得出一倍招兵数。⑧在注⑥的公式中令m=n-3,便得出一倍招兵人日数。
【评】关于招差法的研究,是朱世杰著作中最精彩的部分之一。招差法实际上是高次插值法。插值法的研究在中国数学史上,尤其在历法制定的数学方法中,源远流长。《九章算术》的盈不足术,可以看作一次插值法。六世纪天算学家刘焯制定《皇极历》(600年)提出了等间距插值公式
其中⊿1＝f(nl+l)-f(nl),⊿2＝f(nl+2l)-f(nl+l)。是为等间距二次插值公式。八世纪僧一行制定《大衍历》提出了不等间距二次内插公式:
中国古代数学家在招差法方面的工作。
术曰:立天元一为三角落一底子,如积求之,得九万二千七百三十六为益实,六百六十为从方,一百八十一为从上廉,二十二为从下廉,一为正隅,三乘方开之,得三角落一底子一十二个②,加三即日数。
钱求日术曰:立天元一为三角撒星底子,如积求之,得五百六十一万八百四十为益实,一万八千三百六十二为从方,六千三百九十为从上廉,一千七十五为从二廉,九十为从三廉,三为正隅。四乘方开之,得三角撒星底子一十二个③,加三即日数。(原注:或问,还原依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,得数为兵。今招一十五方,每人日支钱二百五十文,问招兵及支钱各几何④?答曰:兵二万三千四百人,钱二万三千四百六十二贯。术曰:求得上差二十七,二差三十七,三差二十四,下差六。求兵者,今招为上积,又今招减一为茭草底子积为二积,又今招减二为三角底子积为三积,又今招减三为三角落一积为下积,以各差乘各积,四位并之,即招兵数也⑤。求支钱者,以今招为茭草积为上积,又今招减一为三角底子积为二积,又今招减二为三角落一积为三积,又今招减三为三角撒星积为下积,以各差乘各积,四位并之,所得又以每日支钱乘之,即得支钱之数也⑥。)合问。
草曰:立天元一为三角落一底子,加三得为第一次实,以天元加二乘之,得为第二次实,又以天元加一乘之,得为第三次实,又以天元乘之,得为第四次实。副以初招方面三再之,得二十七为上差;次方面四再之,得六十四,减上差,馀三十七为二差;倍二差加上差,得一百一,以减再次立方积一百二十五,馀二十四为三差;三因二差、三为下差。于是以上差乘第一次实,得,四之,得于上;以二差乘第二次实,得,倍之,得于中;以三差乘第三次实,得,三而二,得于中次;又以下差乘第四次实,得,六而一,得于下,并;上位,得为四倍招兵数④,寄左。乃以四通已招兵,得九万三千六百人为同数,消左,得,开三乘方,得十二个,加三,得十五日。
钱求日草曰:立天元一为三角撤星底子,加四得,以天元加三乘之,得为第一次实,又以天元加二乘之,得为第二次实,又以天元加一乘之,得为第三次实,又以天元乘之,得为第四次实。于是以上差乘第一次实,得,三十之,得于上;以二差乘第二次实,得,十之,得于中;以三差乘第三次实,得,四而一,复各超一位,得于中次;又以下差乘第四次实,得,半之,得于下。并四位,得,为六十倍招兵数⑧。合以日支二百五十文乘之,为六十倍共钱数。今省一乘,即以六十倍招兵数为一百分之二十四共钱数寄左。乃以分子二十四通共支钱,得五百六十三万八百八十为同数,消左,得,开四乘方,得十二个,加三,得十五日。(原注:依注还原草曰:依立方招兵,置二十七为上差,三十七为二差,二十四为三差,六为下差。求兵者,今招为上积,以上差乘之,得四百五于上,又今招减一,馀十四为茭草底子,以十五乘之,得二百十,如二而一,得一百五为二积,以二差乘之,得三千八百八十五于中;又今招减二,馀十三,为三角底子,以十四乘之,得一百八十二,又以十五乘之,得二千七百三十,如六而一,得四百五十五为三积,以三差乘之,得一万九百二十于副;又今招减三,馀十二,为三角落一底子,以十三乘之,得一百五十六,又以十四乘之,得二千一百八十四,又以十五乘之,得三万二千七百六十,如二十四而一,得一千三百六十五为下积,以下差乘之,得八千一百九十于下,并四位,得二万三千四百人。支钱者,今招为茭草底子,以十六乘之,得二百四十,如二而一,得一百二十为上积,以上差乘之,得三千二百四十,于上;又今招减一,馀十四为三角底子,以十五乘之,得二百十,又以十六乘之,得三千三百六十,如六而一,得五百六十为二积,以二差乘之,得二万七百二十于中;又今招减二,馀十三,为三角落一底子,以十四乘之,得一百八十二,又以十五乘之,得二千七百三十;又以十六乘之,得四万三千六百八十,如二十四而一,得一千八百二十为三积,以三差乘之,得四万三千六百八十于副;又今招减三,馀十二,为三角撒星底子,以十三乘之,得一百五十六,又以十四乘之,得二千一百八十四,又以十五乘之,得三万二千七百六十,又以十六乘之,得五十二万四千一百六十,如一百二十而一,得四千三百六十八为下积,以下差乘之,得二万六千二百八于下,并四位,得九万三千八百四十八。又以每日支钱乘之,得二万三千四百六十二贯。)合问。
元·朱世杰《四元玉鉴·如象招数》
[注]①此为已知a,b,d,A,B,由a3+(a+d)3+(a+2d)3+…+[a+(n-1)d]3＝A或{a3n+(a+d)3 (n-1)+(a+2d)3(n-2)+…+[a+(n-1)d]3 · 1}b=B求n的问题,朱世杰用招差法解决,此问中a= 3,d=1,A=2340,b=250,B=23462000。②此为四次开方式x4+22x3+181x2+660x-92736=0。③此为五次开方式3x5+90x4+1075x3+6390x2+18362x-5610840=0。④此为朱世杰以原题的逆问题阐述招差法公式。⑤首先求出各次差:
其次,利用高阶等差级数求和公式,求出上积n,二积(n-1)n,三积(n-2)(n-1)n,下积(n-3)(n-2)(n-1)n。总兵数为
f(n)=n⊿1+(n-1)n⊿2+(n-2)(n-1)n⊿3+(n-3)(n-2)(n-1)n⊿4。
这一公式与现今公式完全一致。⑥上积为n(n+1),二积为(n-1)n(n+1),三积为(n-2)(n-1)n(n+1),四积为(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)。支钱人日数为f(n′)=n(n+1)⊿1+(n-1)n(n+1)⊿2+(n-2)(n-1)n(n+1)⊿3+(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)⊿4。
总钱数为
[n(n+1)⊿1+(n-1)n(n+1)⊿2+(n-2)(n-1)n(n+1)⊿3+(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)⊿4]b。
⑦在注⑤的公式中令m=n-3,便得出一倍招兵数。⑧在注⑥的公式中令m=n-3,便得出一倍招兵人日数。
【评】关于招差法的研究,是朱世杰著作中最精彩的部分之一。招差法实际上是高次插值法。插值法的研究在中国数学史上,尤其在历法制定的数学方法中,源远流长。《九章算术》的盈不足术,可以看作一次插值法。六世纪天算学家刘焯制定《皇极历》(600年)提出了等间距插值公式
f(nl+s)=f(nl)+(⊿1-⊿2)
,其中⊿1＝f(nl+l)-f(nl),⊿2＝f(nl+2l)-f(nl+l)。是为等间距二次插值公式。八世纪僧一行制定《大衍历》提出了不等间距二次内插公式:
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十三世纪郭守敬、王恂制定《授时历》(1280),用高阶等差级数知识解决高次招差问题,成就辉煌。朱世杰则把这一研究推向更加完备的水平,在一定意义上说,朱世杰最终完成了中国古代数学家在招差法方面的工作。
