隙积术
算术求积尺之法,如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类,物形备矣,独未有“隙积”一术。古法,凡算方积之物,有“立方”,谓六幂皆方者,其法再自乘则得之。有“堑堵”,谓如土墙者,两边杀,两头齐,其法:并上下广,折半以为之广,以直高乘之,又以直高为股,以上广减下广,馀者半之为勾,勾股求弦,以为斜高。有“刍童”,谓如覆斗者,四面皆杀,其法:倍上长加入下长,以上广乘之,倍下长长加入上长,以下广乘之,并二位法,以高乘之,六而一。“隙积”者,谓积之有隙者,如累棋、层坛、及酒家积罂之类,虽似覆斗,四面皆杀,缘有刻缺及虚隙之处,用刍童法求之,常失于数少。予思而得之,用刍童法为上行;下行:别列下广,以上广减之,馀者以高乘之,六而一,并入上行①。
〔注〕①这实际上是一种二阶等差级数前n项和公式,其项为ab,(a+1)(b+1),(a+2) (b+2)……(a+n-1)(b+n-1),沈括给出其公式为S={〔2a+(a+n-1)〕b+〔a+2(a+n-1)〕(b+n-1)}+(n-1)。
【评】沈括适应北宋手工业高度发展,计算酒坛等堆垛的需要,提出了二阶等差级数求和公式,开创了中国数学史高阶等差级数研究的先河。此后杨辉、朱世杰在这方面贡献卓著,盖源于沈括隙积术。隙积术的堆垛,杨辉称之为刍童果子垛。
果子一垛,下方一十四个,问计几何?
术曰:下方加一乘下方为平积,又加半为高,以乘平积〔原本讹作“下方”,今校正〕为高积,如三而一①。
〔注〕①此为杨辉为《九章算术·商功》方锥问所作“比类”的内容,此方锥形果子垛实际上是求二阶等差级数1,4,9,16,……的前n项之和:S=n(n+1)(n+)。
方垛,上方四个,下方九个,高六个,问计几何?
术曰:上下方各自乘,上下方相乘本法,上方减下方,馀半之,元〔原本讹作“圆”,今校正〕积添此相并,以高乘,三而一①。
〔注〕①此为商功章方亭问的比类,实际上也是二阶等差级数m2,(m+1)2,(m+2)2,…,(m+n-1)2的前n项和的求和公式:
S=[m2+(m+n-1)2+(m+n-1)m+]=-(3m2+n2+3mn-3m-)。
三角垛,下广一面一十二个,上尖,问计几何?
术曰:下广,加一乘之,平积,下广加二乘之立高,方积如六而一,本法①。
术曰:置底面数,张三位,本位不加,中加一,下加二,于内取一位可以六除者,六除讫,以三位相乘为积。
〔注〕①疑此术文有讹舛,其意思是明确的,如《算法通变本末》的术文,为二阶等差级数1,3,6,10,…,的前n项和公式S=n(n+1)(n+2)。
【评】以上三种二阶等差级数前n项和公式,实际上是沈括隙积术的特例,在隙积术中,令a=b=1,便是方锥果子垛;令a=b,便是方垛,令a=1,b=2,便是两个三角垛。虽然,杨辉仍扩充了高阶等差级数研究的内容。
今有茭草一垛,直钱二十五贯五百七十八文。只云最上一束,直钱九文,次下层层每束累贵三文。问底子几何?
术曰:立天元一为茭草底子,如积求之,得一十五万三千四百六十八为益实,二十一为从方,二十七为从廉,六为从隅,立方开之①,合问。
草曰:立天元一为茭草底子,倍累贵三文,得六为直差,乘天元得于上,副以最上九文,三之,得二十七,减直差,馀二十一,加上得,以天元乘之,得,又以天元加一,得乘之,得,合以六除之,为共直②,今不除,便为六倍共直寄左。乃以六通共直,得十五万三千四百六十八为同数,消左,得,开立方,得二十八束,合问。
右图列茭草束于上方,列抛差于下方,上、下相乘置得数于中央,并上方所列为共积,并中央所得为共直钱。
〔注〕①此为三次开方式6x3+27x2+21x-153468=0。②这实际上是二阶等差级数部分和公式。设首项为a1(即最上一束直钱);其通项为m〔a1-(m-1)b〕,则前n项之和为。此处n实际上是上开方式中的x。
宋·沈括《梦溪笔谈》卷一八
〔注〕①这实际上是一种二阶等差级数前n项和公式,其项为ab,(a+1)(b+1),(a+2) (b+2)……(a+n-1)(b+n-1),沈括给出其公式为S={〔2a+(a+n-1)〕b+〔a+2(a+n-1)〕(b+n-1)}+(n-1)。
【评】沈括适应北宋手工业高度发展,计算酒坛等堆垛的需要,提出了二阶等差级数求和公式,开创了中国数学史高阶等差级数研究的先河。此后杨辉、朱世杰在这方面贡献卓著,盖源于沈括隙积术。隙积术的堆垛,杨辉称之为刍童果子垛。
果子一垛,下方一十四个,问计几何?
术曰:下方加一乘下方为平积,又加半为高,以乘平积〔原本讹作“下方”,今校正〕为高积,如三而一①。
宋·杨辉《详解九章算法·商功》
〔注〕①此为杨辉为《九章算术·商功》方锥问所作“比类”的内容,此方锥形果子垛实际上是求二阶等差级数1,4,9,16,……的前n项之和:S=n(n+1)(n+)。
方垛,上方四个,下方九个,高六个,问计几何?
术曰:上下方各自乘,上下方相乘本法,上方减下方,馀半之,元〔原本讹作“圆”,今校正〕积添此相并,以高乘,三而一①。
宋·杨辉《详解九章算法·商功》
〔注〕①此为商功章方亭问的比类,实际上也是二阶等差级数m2,(m+1)2,(m+2)2,…,(m+n-1)2的前n项和的求和公式:
S=[m2+(m+n-1)2+(m+n-1)m+]=-(3m2+n2+3mn-3m-)。
三角垛,下广一面一十二个,上尖,问计几何?
术曰:下广,加一乘之,平积,下广加二乘之立高,方积如六而一,本法①。
宋·杨辉《详解九章算法·商功》
术曰:置底面数,张三位,本位不加,中加一,下加二,于内取一位可以六除者,六除讫,以三位相乘为积。
宋·杨辉《算法通变本末》卷上
〔注〕①疑此术文有讹舛,其意思是明确的,如《算法通变本末》的术文,为二阶等差级数1,3,6,10,…,的前n项和公式S=n(n+1)(n+2)。
【评】以上三种二阶等差级数前n项和公式,实际上是沈括隙积术的特例,在隙积术中,令a=b=1,便是方锥果子垛;令a=b,便是方垛,令a=1,b=2,便是两个三角垛。虽然,杨辉仍扩充了高阶等差级数研究的内容。
今有茭草一垛,直钱二十五贯五百七十八文。只云最上一束,直钱九文,次下层层每束累贵三文。问底子几何?
术曰:立天元一为茭草底子,如积求之,得一十五万三千四百六十八为益实,二十一为从方,二十七为从廉,六为从隅,立方开之①,合问。
草曰:立天元一为茭草底子,倍累贵三文,得六为直差,乘天元得于上,副以最上九文,三之,得二十七,减直差,馀二十一,加上得,以天元乘之,得,又以天元加一,得乘之,得,合以六除之,为共直②,今不除,便为六倍共直寄左。乃以六通共直,得十五万三千四百六十八为同数,消左,得,开立方,得二十八束,合问。
| 茭草束 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 乘得数 | 9 | 24 | 45 | 72 | 105 | 144 | 189 | 240 | 297 |
| 抛差 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| 360 | 429 | 504 | 585 | 672 | 765 | 864 | 969 | 1080 | 1197 |
| 36 | 39 | 42 | 45 | 48 | 51 | 54 | 57 | 60 | 63 |
| 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | |
| 1320 | 1449 | 1584 | 1725 | 1872 | 2025 | 2184 | 2349 | 2520 | |
| 66 | 69 | 72 | 75 | 78 | 81 | 84 | 87 | 90 |
右图列茭草束于上方,列抛差于下方,上、下相乘置得数于中央,并上方所列为共积,并中央所得为共直钱。
元·朱世杰《四元玉鉴·茭草形段》
〔注〕①此为三次开方式6x3+27x2+21x-153468=0。②这实际上是二阶等差级数部分和公式。设首项为a1(即最上一束直钱);其通项为m〔a1-(m-1)b〕,则前n项之和为。此处n实际上是上开方式中的x。
