勾股数
今有二人同所立。甲行率七,乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问甲、乙行各几何?
术曰:令七自乘,三亦自乘,并而半之,以为甲邪行率。邪行率减于七自乘,馀为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步,以甲邪行率乘之。副置十步,以乙东行率乘之,各自为实。实如南行率而一,各得行数。
【评】此为《九章算术》极其重要的一个题目。它实际上提出了世界上第一个勾股数组通解公式:
其中m,n互素的条件,在实际上是满足的。古希腊的柏拉图、欧几里得等只提出了某些特殊情形。公元三世纪丢番都提出了与《九章算术》类似的公式,晚出三百馀年。
今有邑方一十里,各中开门。甲、乙俱从邑中央而出。乙东出;甲南出,出门不知步数,邪向东北磨邑隅,适与乙会。率:甲行五,乙行三。问甲、乙行各几何?
术曰:令五自乘,三亦自乘,并而半之,为邪行率。邪行率减于五自乘者,馀,为南行率。以三乘五,为乙东行率。置邑方半之,以南行率乘之,如东行率而一,即得出南门步数。以增邑方半,即南行。置南行步,求弦者,以邪行率乘之;求东行者,以东行率乘之,各自为实。实如南行率,得一步。
【评】此术与上术同,亦提出了勾股数通解公式,正如刘徽指出的:“求三率之意与上甲、乙同”。这再一次表明,《九章算术》实际上掌握了勾股数该通解公式的一般形式。
此以南行为勾,东行为股,邪行为弦。并勾弦[原本脱“弦”字,依意补]率七。欲引者,当以股率自乘[原本脱此四字,依意补]为幂,如并而一,所得为勾弦差率[原本脱“率”字,依意补]。加并,之半为弦率,以差率减[原本脱“弦”、“差”二字,参考戴震补],馀为勾率。如是或有分,当通而约之乃[原本讹作“及”,戴震校]定。术以勾弦并率[此四字原本讹作“可使”,依钱宝琮校]为分母,故令勾弦并自乘为朱、黄相连之方。股自乘为青幂之矩,以勾弦并为袤,差为广,今有相引之直,加损同上。其图[原本讹作“圆”,戴震校]大体,以两弦为袤,勾弦并[此二字,大典本讹作“股”,戴震校]为广。引横断其半为弦率,列用率七自乘者,勾弦并之率,故弦减之,馀为勾率。同立处是中停也,皆勾弦并为率,故亦以勾率同其袤也。南行十步者,所有见勾求见弦、股,故以弦、股率乘[原本脱“乘”字,李潢补],如勾率而一。
【评】刘徽分别用解析方法和出入相补原理,对《九章算术》的勾股数公式作了证明,是为世界数学史上第一次证明。此注系于“二人同所立”问之下。
法曰:勾弦和自乘,股率自乘,并而半之,为弦;以减和求勾,股率乘勾弦和率求股①。以所有勾数乘所求勾、股、弦三率为列实,以所有勾率为法,除之。
【评】此为贾宪对求勾、股、弦三率(即勾股数通解公式)的进一步抽象。
以三率之中率为主,倍中率为股,首末二率相减为勾,相加为弦。
【评】此实际上给出勾、股、弦三率为:
术曰:令七自乘,三亦自乘,并而半之,以为甲邪行率。邪行率减于七自乘,馀为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步,以甲邪行率乘之。副置十步,以乙东行率乘之,各自为实。实如南行率而一,各得行数。
汉《九章算术·勾股》
【评】此为《九章算术》极其重要的一个题目。它实际上提出了世界上第一个勾股数组通解公式:
a:b:c=[m2-(m2+n2)]:mn:(m2+n2)
,其中m,n互素的条件,在实际上是满足的。古希腊的柏拉图、欧几里得等只提出了某些特殊情形。公元三世纪丢番都提出了与《九章算术》类似的公式,晚出三百馀年。
今有邑方一十里,各中开门。甲、乙俱从邑中央而出。乙东出;甲南出,出门不知步数,邪向东北磨邑隅,适与乙会。率:甲行五,乙行三。问甲、乙行各几何?
术曰:令五自乘,三亦自乘,并而半之,为邪行率。邪行率减于五自乘者,馀,为南行率。以三乘五,为乙东行率。置邑方半之,以南行率乘之,如东行率而一,即得出南门步数。以增邑方半,即南行。置南行步,求弦者,以邪行率乘之;求东行者,以东行率乘之,各自为实。实如南行率,得一步。
《九章算术·勾股》
【评】此术与上术同,亦提出了勾股数通解公式,正如刘徽指出的:“求三率之意与上甲、乙同”。这再一次表明,《九章算术》实际上掌握了勾股数该通解公式的一般形式。
此以南行为勾,东行为股,邪行为弦。并勾弦[原本脱“弦”字,依意补]率七。欲引者,当以股率自乘[原本脱此四字,依意补]为幂,如并而一,所得为勾弦差率[原本脱“率”字,依意补]。加并,之半为弦率,以差率减[原本脱“弦”、“差”二字,参考戴震补],馀为勾率。如是或有分,当通而约之乃[原本讹作“及”,戴震校]定。术以勾弦并率[此四字原本讹作“可使”,依钱宝琮校]为分母,故令勾弦并自乘为朱、黄相连之方。股自乘为青幂之矩,以勾弦并为袤,差为广,今有相引之直,加损同上。其图[原本讹作“圆”,戴震校]大体,以两弦为袤,勾弦并[此二字,大典本讹作“股”,戴震校]为广。引横断其半为弦率,列用率七自乘者,勾弦并之率,故弦减之,馀为勾率。同立处是中停也,皆勾弦并为率,故亦以勾率同其袤也。南行十步者,所有见勾求见弦、股,故以弦、股率乘[原本脱“乘”字,李潢补],如勾率而一。
《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注
【评】刘徽分别用解析方法和出入相补原理,对《九章算术》的勾股数公式作了证明,是为世界数学史上第一次证明。此注系于“二人同所立”问之下。
法曰:勾弦和自乘,股率自乘,并而半之,为弦;以减和求勾,股率乘勾弦和率求股①。以所有勾数乘所求勾、股、弦三率为列实,以所有勾率为法,除之。
《九章算术·勾股》宋·贾宪细草(《宜稼堂丛书》本杨辉《详解九章算法》)
【评】此为贾宪对求勾、股、弦三率(即勾股数通解公式)的进一步抽象。
以三率之中率为主,倍中率为股,首末二率相减为勾,相加为弦。
清·王元启《勾股衍·答友问勾股书》
【评】此实际上给出勾、股、弦三率为:
